SYSTEMATIC MATHEMATICS

抽象代数

本课程分为 9 个按内容定长的单元，长度依次为 4、4、5、6、5、4、5、7、4，共有 44 个可直接学习的知识章节。钟表循环加法、物体重新排列和正方形旋转看起来不同，为什么许多推理方法却相同？课程先写小型运算表，把封闭性、结合律、单位元、逆与交换律分别检查。随后通过子群、循环结构、直积、置换、群作用、共轭、Sylow 理论所需的类方程、陪集、Cauchy 与 Sylow 定理、商、对应以及三个初等同构定理建立群论。后半程发展环、理想、整环、分式域、商环、中国剩余定理、Euclidean 整环到 PID 再到 UFD 的单向阶梯、多项式 Euclid 与 Bézout、不可约与素的边界、最小多项式、扩张次数和塔式公式。每个新名词都对应学习者能够亲手执行的检查；每次商运算都检查代表元无关性；最终项目分类四阶群，并用完整结构证据重建 D₄ 与 F₄。

本课程之前: 已完成线性代数以及证明、逻辑与集合论。课程假设掌握函数、等价关系、商集、归纳、反证、可数性、矩阵、线性变换、基与严格证明，但不要求数论、实分析、拓扑学、范畴论或 Galois 理论。

COURSE FACTSLevel, chapters, units, prerequisite, and outcome
第 1 章

二元运算是封闭的带类型函数

目标: 为什么要证明与代表元选择无关？ 请写出起决定作用的定义、计算或定理。

S 上运算必须把 S×S 中每个有序对送回 S；熟悉公式在底集改变时可能失去封闭性。 本章要说明并证明的结论是：模 n 加法是剩余类 ℤ/nℤ 上良定义且结合的二元运算。 需要亲手重建的例题结论是：该表是以 [0] 为单位元的 Latin 方阵。

先认清对象与运算：S 上二元运算 * 是函数 *:S×S→S。 首先要检验的边界是：正整数上的减法不是二元运算，因为 2−5 不在该集合中。 学完立即自检：为什么要证明与代表元选择无关？

模 n 加法是剩余类 ℤ/nℤ 上良定义且结合的二元运算。

证明第 1 步：若 a≡a′、b≡b′（模 n），则 a+b≡a′+b′，所以代表元给出同一类。

证明第 2 步：结果 [a+b] 仍为剩余类，证明封闭。

证明第 3 步：整数结合律给出 ([a]+[b])+[c]=[a]+([b]+[c])。

例题：构造 ℤ/3ℤ 的加法表。 计算前先写明所用结构与运算。

  1. 例题第 1 步：使用类 [0]、[1]、[2]。
  2. 例题第 2 步：代表元相加并模 3 化简。
  3. 例题第 3 步：各行为 0,1,2；1,2,0；2,0,1。

结果: 该表是以 [0] 为单位元的 Latin 方阵。