SYSTEMATIC MATHEMATICS

代数几何

多项式方程怎样变成空间？函数与局部环怎样揭示图像看不出的结构？为什么需要加入无穷远处的射影点？概形又怎样诚实保留幂零元、剩余域与基变换？本课程用 11 个按内容定长的单元、59 个可见双语章节回答这些问题，单元长度依次为 6、5、6、6、5、6、5、6、5、5、4。课程展开仿射代数集与坐标环、态射与有理映射、射影空间与射影簇、概形与点函子、层与拟凝聚模、纤维积与基变换、分离、固有及射影态射、除子、线丛与 Picard 群、微分、切空间、光滑与 étale 映射、分歧、曲线与 Riemann–Roch、层上同调与射影工具、双有理几何、吹起、奇点边界及一份完整档案。每个底域或基概形、拓扑、点的约定、环映射方向、局部性结论、有限型假设及几何与计算证据的边界都会明确说明。本课只引入实际使用的范畴与同调语言；它不冒充范畴论、同调代数、复或算术几何、交叉理论、étale 上同调、栈与模空间、极小模型纲领或导出代数几何的完整课程。

本课程之前: 已完成交换代数、抽象代数、证明、逻辑与集合论及线性代数。学习者应掌握理想与商、素理想与极大理想、局部化、模、张量积、Noether 环、整依赖、主分解、Krull 维数、局部环、Nakayama 引理、完备化、正则局部环、多项式环、域、向量空间、基、对偶映射、等价关系，以及反证法与归纳证明。点集拓扑有帮助但不是先修；所需拓扑会重新建立。本课不预设范畴论、同调代数、概形论、复分析或微分几何。

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第 1 章

仿射空间与公共零点集把方程变成几何对象

目标: 为什么 V(xy)=V(x)∪V(y) 需要 k 是域，或至少没有零因子？

代数几何从一个刻意简单的问题开始：哪些坐标点能让所有指定多项式方程同时等于零？答案是一个点集。它在实数上可能看起来像曲线或曲面，但定义适用于任意域，不需要距离、角度或图像。 计算前先写明底域、环境空间、坐标变量、点集、定义理想及正在使用的每个映射。本章要理解的准确结论是：若 (S) 表示由 S 生成的理想，则 V(S)=V((S))。并且 V(S∪T)=V(S)∩V(T)，而 V(ST)=V(S)∪V(T)，其中 ST={fg:f∈S,g∈T}。所以增加方程会取解集之交，方程相乘则会取解集之并。

新对象的含义是：令 k 为域。k 上的 n 维仿射空间写作 A^n_k，读作“k 上的 n 维仿射空间”，它就是由有序 n 元组 a=(a_1,…,a_n) 组成的集合 k^n。对 S⊆k[x_1,…,x_n]，定义 V(S)={a∈A^n_k:每个 f∈S 都满足 f(a)=0}；V(S) 读作“S 的公共零点集”。A^n_k 中任何形如 V(S) 的子集称为仿射代数集。 每个所示公式都要读成一句关于点、函数或邻域的话；不要只因符号像以前的代数式，就在未说明含义时机械变形。

请从定义重建例题“在以 x、y 为坐标的 A^2_k 中确定 V(xy)，证明它是两条坐标轴之并，并与 V(x,y) 比较。”。集合相等的两个方向都要核验，找出相应环映射，并始终保留这个失效边界：A^n_k 是由 k 值坐标元组组成的集合；只有当 k=R 且另行加入 Euclidean 结构时，它才是通常的 Euclidean n 维空间。在有限域上它只有有限个点；在 C 上，一个方程可能描述四个实维度，而不是通常绘出的曲面。

若 (S) 表示由 S 生成的理想，则 V(S)=V((S))。并且 V(S∪T)=V(S)∩V(T)，而 V(ST)=V(S)∪V(T)，其中 ST={fg:f∈S,g∈T}。所以增加方程会取解集之交，方程相乘则会取解集之并。

(S) 中每个元素 h 都是有限和 h=Σr_if_i，其中 f_i∈S。若点 a 使每个 f_i 都为零，则 h(a)=Σr_i(a)f_i(a)=0，所以 V(S)⊆V((S))。反向包含由 S⊆(S) 立即得到。

一个点属于 V(S∪T)，当且仅当它使 S 中每个多项式及 T 中每个多项式都为零；这恰好表示它同时属于 V(S) 与 V(T)。

若每个乘积 fg 都在 a 处为零，则要么所有 f∈S 都在 a 处为零，要么所有 g∈T 都在 a 处为零；否则可选 f(a)≠0、g(a)≠0，而二者乘积在域 k 中非零。由此证明 V(ST)=V(S)∪V(T)。

在以 x、y 为坐标的 A^2_k 中确定 V(xy)，证明它是两条坐标轴之并，并与 V(x,y) 比较。

  1. 点 (a,b) 属于 V(xy)，当且仅当代入后的乘积 ab 在 k 中等于 0。因为域没有非零零因子，ab=0 表示 a=0 或 b=0。
  2. 条件 a=0 描述 V(x)，即 y 轴；条件 b=0 描述 V(y)，即 x 轴。所以 V(xy)=V(x)∪V(y)。
  3. 相反，V(x,y)=V(x)∩V(y) 同时要求 a=0 且 b=0，所以它只有原点 {(0,0)}。

结果: V(xy)=V(x)∪V(y) 是两条坐标轴之并，而 V(x,y)={(0,0)} 是它们的交。