代数拓扑

环路怎样变成群元素？边界怎样变成矩阵？在映射、乘积、流形与含噪有限数据中，怎样比较“孔洞”？本课程用 9 个按内容定长的单元、44 个可见双语章节回答这些问题，单元长度依次为 5、5、6、5、5、5、5、4、4。课程从同伦、基本群与覆盖空间开始，构造单纯、奇异、相对与胞腔同调；再建立正合列、切除、Mayer–Vietoris、上同调、杯积、系数定理、流形对偶、定点证据、持久同调、高阶同伦、纤维化与谱序列阅读；最后完成可独立重建的环面档案。每个基点、定向、系数群、边界符号、诱导映射、商与模型假设都会明确说明。本课不会把一个不变量冒充完全分类，不会混淆同伦等价与同胚，也不会在缺少经过验证的滤过与稳定性论证时，把条形码冒充物理特征的证明。

本课程之前: 已完成拓扑学、抽象代数、证明、逻辑与集合论以及线性代数。学习者应已掌握连续映射、商空间、紧致、连通、道路同伦、群、正规子群、商群、自由交换群、基、矩阵、核、像，以及用泛性质证明。微分几何与流形有助于最后的对偶桥梁，但不是必需先修。本课不预设计算拓扑软件包、点云模型、范畴论课程或谱序列熟练度。