近似是带极限与误差的结论
目标: 在“近似是带极限与误差的结论”中，哪项假设或尺度阻止该结论被误写成没有依据的等式？
第 1 单元第 1 章从“近似是带极限与误差的结论”背后的具体问题开始。写 f≈g 并不完整，必须说明哪个参数变化以及怎样衡量差异。第一步必须认清哪个量在变化、哪个参数趋向极限，以及误差按什么尺度判断；任何符号都不能替代这三项决定。
本章用下面的定义固定语言：集合 D_ε 上的渐近近似，是选择一个简单量 A_ε，并在 ε 趋向声明极限时给出 R_ε=f_ε−A_ε 的界。阅读每个等号、渐近符号、导数、积分与下标时，都要同时读出定义域和趋近过程。外形相似的两个式子，在一个逐点、另一个一致时可能表达完全不同的结论。
可直接使用的结论是：若在 D_ε 上一致有 |R_ε|≤Cρ(ε) 且 ρ(ε)→0，则 A_ε 以绝对误差 O(ρ(ε)) 近似 f_ε。证明路线不是要背的名称。减去拟议近似，提出主导尺度，再对剩余无量纲比值给出与 ε 无关的界。每次变形都必须保持已经声明的余项阶，并且最后一行必须说明估计在哪个范围成立。
完整例题要求：对 |x|≤1 上的 f_ε(x)=sin(εx)/ε，证明 x 是 O(ε²) 近似，并说明该结论是否一致。计算按“选择尺度—计算系数或相位—独立核验残差”的顺序组织。得到的有边界结论是：Taylor 余项给出 |x|≤1 上一致的 |f_ε(x)−x|≤ε²/6；在 x=0 处不能通过相除控制相对误差。该结果只对已经声明的模型与参数区间构成证据。
失效边界属于概念本身：目标接近零时，绝对误差很小的近似仍可能具有巨大的相对误差。因此合格答案必须同时写出近似式、余项尺度、假设，并给出一个明确检验说明删去哪项假设后会发生什么。很小的数值残差绝不能被静默升级成定理。
若在 D_ε 上一致有 |R_ε|≤Cρ(ε) 且 ρ(ε)→0，则 A_ε 以绝对误差 O(ρ(ε)) 近似 f_ε。
从本章的准确定义出发，把目标改写到其中指定的尺度上。对“近似是带极限与误差的结论”而言，这一步防止在极限变量与定义域尚未固定时就形式比较系数。
减去拟议近似，提出主导尺度，再对剩余无量纲比值给出与 ε 无关的界。必须保留第一个被省略的贡献，不能用没有解释的省略号替代；它提供检验已保留各项所需的余项阶。
把拟议近似代回准确关系，并把残差与第一个忽略尺度比较，由此得到：Taylor 余项给出 |x|≤1 上一致的 |f_ε(x)−x|≤ε²/6；在 x=0 处不能通过相除控制相对误差。结论在本章声明的边界处停止。
对 |x|≤1 上的 f_ε(x)=sin(εx)/ε，证明 x 是 O(ε²) 近似，并说明该结论是否一致。
- 先声明极限参数、定义域、归一化与目标误差，再把“集合 D_ε 上的渐近近似，是选择一个简单量 A_ε，并在 ε 趋向声明极限时给出 R_ε=f_ε−A_ε 的界。”翻译成题目中的记号。
- 减去拟议近似，提出主导尺度，再对剩余无量纲比值给出与 ε 无关的界。记录每个保留项及第一个忽略尺度，使任何抵消或阶数变化都不会被隐藏。
- 计算所得表达式，并执行残差或比值核验。核验后的结果是：Taylor 余项给出 |x|≤1 上一致的 |f_ε(x)−x|≤ε²/6；在 x=0 处不能通过相除控制相对误差。
结果: Taylor 余项给出 |x|≤1 上一致的 |f_ε(x)−x|≤ε²/6；在 x=0 处不能通过相除控制相对误差。