极限控制一点附近的输出
目标: 即使 f(a) 已定义，极限定义为什么仍排除 x=a？
陈述 lim(x→a)f(x)=L 讨论的是接近 a 但不等于 a 的输入所对应的 f(x)，它起初并不要求 f(a) 存在或等于 L。图像能提示趋向，表格只能抽样，代数可以揭示结构；定义要求的是统一保证：任意给定 L 周围的误差带，都能找到足够小的输入范围，使其中每个允许输入都落入该误差带。这样就把证据与证明区分开。
在 ε–δ 定义中，ε 表示所要求的输出精度，δ 表示足以实现该精度的输入接近程度。量词顺序非常重要：对方先任取 ε>0，证明再构造 δ>0，最后才检验输入 x。穿孔条件 0<|x−a|<δ 有意排除 a。成功的证明必须说明如何用输入误差控制输出误差，而不能只挑选有利样本点。
可以把输入想成一个旋钮：不断把它转向 a，却暂时不把它正好停在 a。极限问的是，只要输入足够接近，输出指针能被保证停在哪个数附近。它不是看几个数值后的猜测；别人任意指定允许的输出误差后，你必须给出一个输入距离，并保证这个距离内每个允许输入都符合要求。
对 f(x)=3x−2 与任意实数 a，都有 lim(x→a)f(x)=3a−2。
任给 ε>0。输出误差为 |(3x−2)−(3a−2)|=3|x−a|。
取 δ=ε/3。若 0<|x−a|<δ，则乘以 3 得 3|x−a|<3δ=ε。
因此对每个符合条件的 x，都有 |f(x)−(3a−2)|<ε，这恰好满足量化定义。
直接证明 lim(x→2)(5x+1)=11，并写出对给定 ε 有效的 δ。
- 计算误差：|(5x+1)−11|=|5x−10|=5|x−2|。
- 要让它小于 ε，只需要求 |x−2|<ε/5，因此取 δ=ε/5。
- 于是每个满足 0<|x−2|<δ 的 x 都满足 |(5x+1)−11|<5δ=ε。
结果: 对每个 ε>0，取 δ=ε/5 即可证明该极限。