泛函与允许函数空间
目标: 为什么必须声明 X 上的范数或拓扑？
泛函把整条曲线或整个场映成一个数；在讨论“邻近”函数或极值前，其定义域必须编码光滑性与边界数据。
先读懂允许函数族再求导：泛函 J:X→R 把允许集合 X 中的函数 u 映为标量；典型积分泛函为 J[u]=∫_a^bL(x,u,u′)dx，并配固定、自由或受约束的边界迹。 本节要建立的结论是：若 X 为凸集且 L(x,y,p) 对 (y,p) 凸，则 J 在 X 上凸；若严格凸性作用于每个非零允许差，则极小函数唯一。 每一步都保留拓扑、端点迹、约束、正则性与变分允许的符号。
例题是：对 J[u]=∫₀¹(u′)²dx，在端点 u(0)=0、u(1)=1 下比较 u=x 与 u=x²。 从“两个函数都满足端点条件。”开始，以“对 u=x²，J=∫₀¹4x²dx=4/3。”收束。保留每个分部积分边界项，再判断这条路线只证明驻值，还是已经证明真正的极小值。
若 X 为凸集且 L(x,y,p) 对 (y,p) 凸，则 J 在 X 上凸；若严格凸性作用于每个非零允许差，则极小函数唯一。
对 u,v∈X 与 0≤t≤1，X 的凸性使 tu+(1−t)v 仍允许。
把 L 的逐点凸性用于该组合的函数值与导数。
积分逐点不等式；对不同函数出现严格不等式时得到唯一性。
对 J[u]=∫₀¹(u′)²dx，在端点 u(0)=0、u(1)=1 下比较 u=x 与 u=x²。
- 两个函数都满足端点条件。
- 对 u=x，J=∫₀¹1dx=1。
- 对 u=x²，J=∫₀¹4x²dx=4/3。
结果: 在这两个允许候选中，u=x 的能量 1 小于 4/3；仅此比较尚不能证明全局极小性。