公式必须说明对象与定义域
目标: “公式必须说明对象与定义域”中的结论依靠哪种对象类型、定向、正则性或重叠条件才与坐标无关？
第 1 单元第 1 章从“公式必须说明对象与定义域”背后的几何任务开始。同一串数字只有在说明变换规则后，才能分别表示点、向量、余向量或矩阵。计算前先说清空间、点或区域、映射，以及被微分或积分的对象类型。只有这些对象已经固定，坐标公式才有意义。
准确定义是：几何对象由每点的取值及其坐标表示在允许坐标图之间怎样变化的规则共同确定。阅读时，要把每个指标看作槽位或坐标标签，把每个微分看作指定切空间之间的映射，并让每个积分都带上定向或密度。这样可避免用一串符号代替几何含义。
本章可使用的结论是：若两组坐标列表在每个重叠区按规定变换律联系，它们表示同一整体对象；任意无关列表则不能。推导路线必须看得见：写出两个坐标图，计算过渡映射，按正确规则变换第一组列表，再逐点与第二组比较。每次坐标变换都要回到内蕴对象核验，不能把一个坐标图中的吻合误当成整体证明。
完整例题是：在 Cartesian 与极坐标的 (1,π/2) 处，区分点坐标、径向单位向量与微分 dr。计算先固定约定，再完成局部代数，最后核验重叠区、定向、单位或边界项。得到的结论是：该点是 (0,1)，e_r=(0,1)，而 dr 把位移取为径向分量；外形相同的数对具有不同类型与变换规则。
失效检验属于本课内容：在一个点上数值条目相同，并不能证明两个场相同，因为基底或对象类型可能不同。因此完整解答必须写出假设、对象类型、变换规则、计算值，以及越过边界后第一条失效结论。数值吻合只能标作证据，绝不能冒充证明。
若两组坐标列表在每个重叠区按规定变换律联系，它们表示同一整体对象；任意无关列表则不能。
从本章定义出发，只把一个坐标图当作临时计算工具。处理“公式必须说明对象与定义域”时，求导前先写出定义域、陪域、张量或形式次数及正则性。
写出两个坐标图，计算过渡映射，按正确规则变换第一组列表，再逐点与第二组比较。在每个重叠区，按照对象类型使用链式法则、行列式规则、反对称规则或联络变换律。必须把抵消项写出来，不能藏在“它是不变的”一句话里。
计算指定模型并独立检验几何结论，由此得到：该点是 (0,1)，e_r=(0,1)，而 dr 把位移取为径向分量；外形相同的数对具有不同类型与变换规则。证明在“在一个点上数值条目相同，并不能证明两个场相同，因为基底或对象类型可能不同。”处停止。
在 Cartesian 与极坐标的 (1,π/2) 处，区分点坐标、径向单位向量与微分 dr。
- 列出流形或区域、坐标、映射、定向及全部输入对象类型；把定义“几何对象由每点的取值及其坐标表示在允许坐标图之间怎样变化的规则共同确定。”翻译成这些已声明数据。
- 写出两个坐标图，计算过渡映射，按正确规则变换第一组列表，再逐点与第二组比较。把 Jacobian 因子、符号、指标位置与边界定向分行写清。
- 计算局部表达式，在重叠区或通过内蕴恒等式核验，并报告：该点是 (0,1)，e_r=(0,1)，而 dr 把位移取为径向分量；外形相同的数对具有不同类型与变换规则。
结果: 该点是 (0,1)，e_r=(0,1)，而 dr 把位移取为径向分量；外形相同的数对具有不同类型与变换规则。