交换代数

在一个素理想附近研究环是什么意思？有限生成为什么能阻止理想无限漂移？素理想链怎样度量维数？正规化怎样修复奇异坐标环而不抹去其算术？本课程用 10 个按内容定长的单元、53 个可见双语章节回答这些问题，单元长度依次为 6、5、6、5、6、5、5、6、5、4。课程构造环与模的局部化、素谱与 Zariski 拓扑、正合列、Hom 与张量积、平坦性、Noether 与 Artin 条件、整依赖、lying-over 与 going-up、正规化、主分解与伴随素理想、Krull 维数、局部环、Nakayama 引理、完备化、正则局部环、深度与 Cohen–Macaulay 结构、Gröbner 证据、Nullstellensatz，以及一份完整尖点环档案。每个环、单位元约定、理想、模的标量、分母集、有限性假设、素理想链、局部化、完备化拓扑及计算证据与结构证明的边界都会明确说明。本课不会把一张生成理想列表冒充素性证明，不会从一次局部化猜整体相等，也不冒充同调代数、代数几何、代数数论、计算机代数系统或概形理论。

本课程之前: 已完成抽象代数、证明、逻辑与集合论及线性代数。学习者应掌握含幺交换环、理想、商环、环同态、多项式环、域、向量空间、基、线性映射、核、像、行列式、等价关系与归纳证明。Galois 理论与有限域及数论可提供动机，但不是先修。本课不预设范畴论、同调代数、代数几何、代数数论、Gröbner 基软件或概形理论。