直角与极形式编码代数和几何
目标: 为什么“直角与极形式编码代数和几何”中的定理不能直接套到这个相邻情形：辐角全局多值；在原点周围把 arg z 写成单值连续函数需要支割线。？指出最先失效的假设。
复数 z=x+iy 是 R² 中的点/向量，乘法会相加角度并相乘模。
对象与符号：对 z=x+iy，共轭 z̄=x−iy、模 |z|=√(x²+y²)，非零 z=re^{iθ}，θ 模 2π 定义。 本节要建立的结论是：|zw|=|z||w|，辐角模 2π 相加；z≠0 时 z^{-1}=z̄/|z|²。 每个公式都要放在所述定义域与分支上读，并保留曲线方向与奇点。
例题是：用主辐角写 −1+i√3 的极形式。 先“模为 √(1+3)=2。”，最后“所以 z=2e^{2πi/3}；全部辐角为 2π/3+2πk。”。再把答案与这个相邻失败情形比较：辐角全局多值；在原点周围把 arg z 写成单值连续函数需要支割线。
|zw|=|z||w|，辐角模 2π 相加；z≠0 时 z^{-1}=z̄/|z|²。
展开 zw 并计算模平方。
因式分解为 (x²+y²)(u²+v²)。
使用 Euler 形式识别角度相加与逆元。
用主辐角写 −1+i√3 的极形式。
- 模为 √(1+3)=2。
- 点在第二象限，角为 2π/3。
- 所以 z=2e^{2πi/3}；全部辐角为 2π/3+2πk。
结果: 主极形式为 2e^{2πi/3}。