连续介质力学与流体动力学

CF01.01 从可观察问题开始，不从公式清单开始。本章要问：区分质点尺度平均与分子描述，并声明分辨窗口。先声明材料或流体质点、空间区域、时间区间、场、单位、参考系、初值、边界数据，以及采用物质还是空间描述。符号只有在类型与定义域具名以后才有意义。

逐一读出基本类型。X 标记材料点，x 是当前位置，χ(t,X) 是运动，u(t,x) 是速度，ρ 是单位当前体积质量，p 只在各向同性应力分解中表示标量压力，σ 是 Cauchy 应力，n 是有向单位法向，D/Dt=∂t+u·∇ 跟随运动质点。单位或张量类型不相容的量不能相加。

分开运动学、平衡律与本构响应。运动学描述运动与变形而不选择材料；平衡律编码质量、动量、角动量与能量；本构律在声明的对称与热力学限制下闭合未定应力、热流、压力、黏度或界面力。仅有守恒不能选择 Newton、无黏、可压缩或不可压缩行为。

局部微分方程与积分控制体定律是两种表示；它们的等价需要正则性、定向与输运定理。每个边界通量都要写出外法向与控制面速度。解具有激波、角点、界面或仅有弱导数时，使用逐点链式法则以前要回到分布或积分平衡。

参考系账区分观察者变化与物理变形。平移和旋转可以改变分量公式，而客观标量或张量关系按规定方式变换。接受本构方程以前，要测试单位、各向同性或材料对称、参考系无关性、耗散符号、参数范围与刚体运动下行为。

准确有限校准为：CF01.01：声明参考长度 L=4 m、速度 U=3 m/s，得到平流时间 L/U=4/3 s。第二个时标 T=4 s 给出 Strouhal 数 St=L/(UT)=1/3。这些标签只组织一份缩放账；缺少材料与力尺度时，它们不能决定控制方程或流动范围。保留分数、π、根式、张量分量、符号与单位直到最后一行。该数据行只为声明的有限数据提供证据；没有独立定理连接时，它不能证明存在、唯一、稳定、收敛、正则或极限。

无量纲化是带类型代换，不是凭观察删掉单位。选择参考长度、时间、速度、密度、压力、温度与力尺度，把它们代入每一项，再除以同一个尺度，并保留所得每个无量纲群。Reynolds、Mach、Froude、Rossby、Weber 或 Strouhal 数只有连同声明尺度选择才有意义。

质量平衡同时追踪密度与体积。在物质体中没有质量穿过运动边界；在固定或任意控制体中，相对速度产生边界通量。只有在足够正则下应用输运与散度定理，才得到微分连续方程。不可压缩可指保体积运动、速度散度为零，或在额外假设下密度常数；必须说明使用哪种含义。

动量平衡把边界牵引与体力转成质量的加速度。Cauchy 应力定理在局部性与平衡假设下把牵引表示为 σn；在经典非极性环境中，角动量平衡给出应力对称。压力并不总是全部应力。对 Newton 流体，黏性应力依赖速度梯度的对称部分与体积响应，系数受耗散条件限制。

能量与熵回答不同问题。第一定律用功与热平衡动能和内能；第二定律在声明温度与熵流后，以非负熵产生限制本构选择。正黏度系数在标准模型中支持黏性耗散，但热力学一致性仍依赖密度、温度、压力、热传导与边界通量。

不可压缩流中的压力是约束乘子，与边界条件共同强制速度无散。取散度可以得到压力 Poisson 方程，但其边界数据与归一化必须推导。Helmholtz 投影只在声明区域与函数空间中消除梯度；拓扑与边界会影响分解。

涡量是 curl u，记录速度的局部旋转，不是每个有限质点团的角速度。适当光滑下对 Euler 或 Navier–Stokes 取旋度可消去压力，并显示输运、拉伸、斜压产生与扩散。二维缺少三维拉伸项，这改变正则性与级联故事。环量陈述需要有向物质回路与准确外力假设。

经典导数失效后，弱解保留积分或分布平衡。要说明测试函数类、无散约束、初始迹、能量不等式、压力解释与边界行为。弱存在不等于弱唯一。只有相对能或稳定论证及全部可积假设具备时，强解才可能通过弱—强唯一控制弱解。

对三维不可压缩 Navier–Stokes，在标准环境中存在有限能弱解，而任意光滑数据的整体光滑性与唯一性仍未解决。本课可以在准确假设下推导能量界、局部强解理论、延拓判据与部分正则性，但必须停在尚未解决的整体正则结论以前。

可压缩流把密度、动量与能量同状态方程耦合。特征速度依赖声速与状态。光滑压缩可以变陡形成激波，因此弱守恒与熵许可取代多值经典流。真空、接触间断、热传导、黏度与边界条件都会改变定理；不存在覆盖所有系统的单一标量激波规则。

边界层产生于小黏度乘最高阶空间导数，而黏性与无黏边界条件可能不一致。应从缩放方程推导拉伸坐标与主导平衡。形式 Prandtl 剖面不会自动适定或保持附着；分离、逆压梯度、不稳定及 Kato 型耗散判据分别需要独立假设与证据。

线性稳定研究具名基流周围线性化方程的谱或演化算子。谱稳定不能排除非正规算子的瞬态放大，线性增长本身也不能证明非线性转捩。要说明扰动范数、边界条件、波数、Reynolds 数、时间区间，以及结论属于模态、能量还是非线性。

旋转、分层、重力与自由表面增加时间和长度尺度。Coriolis 项在基本动能恒等式中不做功，却会重定向动量；浮力交换动能与势能；自由边界曲率产生表面张力，并要求未知界面上的运动学与动力学条件。每个约化模型都需要声明渐近极限与误差边界。

湍流统计只有在声明平均算子后，才把场分成已解析均值与脉动。Reynolds 应力引入未闭合相关，不是额外已知力。能谱与结构函数依赖归一化、区域、平稳、齐性、各向同性，以及集合或时间平均。有限数据中观察到的缩放区间是证据，不是普适准确定律。

流体计算需要格式账：网格几何、变量位置、数值通量、压力耦合、时间积分器、边界闭合、线性与非线性容差、守恒残差、散度缺陷、稳定限制、加密路径与准确输出行。平滑图片不能替代这些记录。核验针对方程与代码；面向物理领域的验证还需要独立观测与不确定性。

本单元的有边界定理桥梁是：一致参考尺度把量纲有效平衡转成无量纲方程，其系数显示竞争机制；模型只在声明的微观、几何与观测尺度之间有效。把它重写为具名假设、机制、结论与被排除的更强主张。失效变异是：混合单位、不给场定类型、混淆观察者变化与材料变化、由一个数推出流动范围，或把连续模型延伸到分辨尺度以下。定位论证中第一行使用被移除性质的位置，再写出仍成立的最强结论。

最后把“连续介质场表示什么”讲给没学过连续介质力学的人。具名每个场与单位，画出控制对象，用两条路线推导准确有限数据行，识别解类别，审计定理桥梁，触发一个失效假设，并解释为何仍成立的有限观察弱于整体流体定理。