微分方程与动力系统

本课分成八个按内容确定长度的单元，各单元分别有 4、7、5、9、5、4、6、4 章，共 44 个可见知识章节。水箱越满就流得越快，弹簧拉得越长就回拉得越强：这些规律描述的是“怎样变化”，而不是最终数量。课程先说明未知量、输入、单位、变化率、区间，以及数据是初值还是边值；先建立并验证一阶方程，再选择可分离、线性、恰当、Bernoulli、定性、变换、特征模态或数值方法。Picard 迭代构造存在理论承诺的局部解，Grönwall 不等式把唯一性与数据依赖转成可见误差界。随后用 Wronskian 构造基本解组，用降阶法补出第二个解，用参数变易处理一般强迫，用 Frobenius 推理跨越正则奇点，用 Sturm 定理比较零点间距，并用 Duhamel 公式累积系统输入。课程继续学习边值特征值、亏损系统、频率响应、Poincaré–Bendixson 周期轨道存在性、平衡交换、Hopf 产生周期轨道、稳定性、RK4 与刚性近似。每种方法都保留假设与首个失败边界。最后一章针对一个有阻尼且受外力的系统，对照精确结构、定性预测与受控数值误差。

本课程之前: 已完成微积分与线性代数。课程假设掌握导数、定积分与反常积分、初等级数、向量、矩阵、特征值、特征向量与复数基础。建模、相图、存在唯一性、变换、数值求解器与稳定性都在本地引入；开篇不假设编程语言、求解器软件包、物理实验室、实分析或拓扑学。