交替协变张量测量带方向的 k 维输入
目标: 为什么 ω(v,w)=0 不足以推出 v、w 在 R³ 中线性相关？
一形式输入一个向量并输出标量。某点的 k 形式输入 k 个切向量。对每个位置线性，使测量与向量加法、缩放相容；交替性则迫使输入失去 k 维独立性时结果为零。 操作符号前，先写明流形、维数、每个形式的次数、各输入所属切或余切空间，以及全部定向、度量、紧致性、边界或支撑假设。本章准确结论是：若 dim V=n，则 0≤k≤n 时 dim Λ^k(V^*)=binomial(n,k)，而 k>n 时 Λ^k(V^*)={0}。交替 k 形式在每个线性相关 k 元组上都为零。
新对象的含义是：对有限维向量空间 V，交替协变 k 张量是多线性映射 ω:V^k→R，并对每个置换 σ 满足 ω(v_{σ(1)},…,v_{σ(k)})=sign(σ)ω(v_1,…,v_k)。这些映射组成 Λ^k(V^*)，并规定 Λ^0(V^*)=R。 微分形式不是一串装饰性的 dx 符号；它是在明确点上、具有明确次数与变换规则的交替多线性测量。
请从定义重建例题“在 V=R³ 上令 ω((a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3))=a_1b_2−a_2b_1。计算 v=(1,2,3)、w=(4,5,6) 上的 ω，核验交替性并说明其核行为。”，包括每个符号与次数。始终保留这个失效边界：交替不只是对某一对输入反对称，而是控制每个置换。k 形式是协变对象：向量是输入、标量是输出。当 k>dim V 时，唯一交替形式为零，所以在维数过小的空间中，形式上的 dx_1∧⋯∧dx_k 不可能非零。
若 dim V=n，则 0≤k≤n 时 dim Λ^k(V^*)=binomial(n,k)，而 k>n 时 Λ^k(V^*)={0}。交替 k 形式在每个线性相关 k 元组上都为零。
选择基 e_1,…,e_n 及对偶基 e^1,…,e^n。交替性说明取值由递增下标列 i_1<⋯<i_k 决定。
这种下标列共有 binomial(n,k) 个，而楔积基 e^{i_1}∧⋯∧e^{i_k} 线性无关，从而证明维数公式。
若 v_1,…,v_k 相关，把其中一个写成其余向量的线性组合。多线性展开后每项都有重复输入，交替性使每个重复项为零。
在 V=R³ 上令 ω((a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3))=a_1b_2−a_2b_1。计算 v=(1,2,3)、w=(4,5,6) 上的 ω，核验交替性并说明其核行为。
- 直接代入：ω(v,w)=1·5−2·4=−3。
- 交换输入得 ω(w,v)=4·2−5·1=3=−ω(v,w)，且 ω(v,v)=1·2−2·1=0。
- 第三坐标不参与计算。任何在前两坐标投影后相关的向量对都给出零；在整个 R³ 中相关当然也迫使结果为零。
结果: ω(v,w)=−3、ω(w,v)=3；重复输入或前两坐标投影相关时取零；在对偶记号中 ω=e^1∧e^2。