参数曲线、正则性与重新参数化
目标: 两个轨迹相同的映射能否定义不同的参数曲线？
曲线是一个映射，不只是它经过的点集；正则性保证非零切向，而合法换参保持几何运动。
对象与符号：C^k 曲线是有 k 阶连续导数的映射 γ:I→R^n；当 γ′(t)≠0 时称为正则。正则重新参数化是 γ∘φ，其中 φ 是区间之间的 C^k 微分同胚。 本节要建立的结论是：在保向重新参数化下，切向方向与所有不依赖参数的几何量一致；反向换参会反转单位切向。 每个分量公式都要放在明确的参数域、坐标图或标架中读，并区分坐标列表与它表示的几何向量、微分形式、度量或曲率。
例题是：对 γ(t)=(cos 2t,sin 2t)、0<t<π，确定轨迹、速度与方向。 从“由 x²+y²=1 知轨迹在单位圆上，只缺 t=0,π 所表示的端点。”开始，以“在 t=0 速度向上，因此沿逆时针方向走完一周。”收束。再与这个相邻失败情形比较：尖点 γ(t)=(t²,t³) 在 t=0 有 γ′(0)=0，因此其轨迹不能在原点给出正则切向。 通过比较说明哪一部分依赖坐标，哪个结论在允许的坐标变换下保持不变。
在保向重新参数化下，切向方向与所有不依赖参数的几何量一致；反向换参会反转单位切向。
用链式法则：(γ∘φ)′(u)=γ′(φ(u))φ′(u)。
因为 φ′ 从不为零，所以正则性保持，而 φ′ 的符号记录方向。
把导数单位化；正比例因子消去，负比例因子恰好产生一次符号反转。
对 γ(t)=(cos 2t,sin 2t)、0<t<π，确定轨迹、速度与方向。
- 由 x²+y²=1 知轨迹在单位圆上，只缺 t=0,π 所表示的端点。
- γ′(t)=(-2sin 2t,2cos 2t)，故速度恒为 2 且从不为零。
- 在 t=0 速度向上，因此沿逆时针方向走完一周。
结果: 它是在所述开区间上以速度 2 逆时针走过单位圆的正则参数化。