SYSTEMATIC MATHEMATICS

微分拓扑、向量丛与 Morse 理论

光滑方程组何时切出流形？怎样用微小扰动让两个几何对象干净相交？为什么带符号逆像能确定整体度数？一个函数的临界点又怎样揭示整个空间的拓扑？本课程用 11 个按内容定长的单元、63 个可见双语章节回答这些问题，单元长度依次为 6、7、6、7、5、6、5、6、7、4、4。课程展开光滑秩与正则值方法、嵌入与浸入子流形、法丛与管状邻域、单位分解、光滑逼近与同痕、Sard 定理与横截性、带定向及模二交数、度数、向量丛与截面、特征类与障碍证据、向量场指标与 Poincaré–Hopf、Morse 函数、手柄、Morse 不等式、配边、Pontryagin–Thom 边界、手术理论边界，以及完整嵌入环面档案。每个流形、维数、坐标图、切映射、紧致性条件、定向、系数系统、扰动类别、局部/整体区别与定理边界都会明确说明。本课证明并计算实际使用的有限维光滑结论；它不冒充几何测度论、奇点理论、辛拓扑、规范场论、稳定同伦论、高维手术或研究级 h-配边理论的完整课程。

本课程之前: 已完成微分几何与流形、拓扑、代数拓扑、多变量微积分、向量微积分、线性代数及实分析。学习者应掌握光滑流形与映射、切与余切空间、微分形式与 Stokes 定理、紧致性与商空间、基本群、同调与上同调、行列式与定向、多变量导数、逆函数与隐函数定理，以及“先用局部坐标证明、再作不变量比较”的方法。不预设横截性、向量丛特征类、Morse 理论、配边或手术理论。

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第 1 章

光滑性是关于一个映射的坐标无关陈述

目标: 为什么只写 (−π,π) 上的公式 θ↦2θ，还不是完整的整体证明？

流形有许多合法坐标系。换坐标后公式可能完全不同，所以微分拓扑不能偏爱某一张图来定义光滑性。正确做法是：在来源图与目标图相遇的每个地方，坐标表示都必须成为普通 Euclidean 光滑函数。 计算前先写明来源流形、目标流形、维数、坐标图、映射、点、切空间及每个正则性或紧致性假设。本章要理解的准确结论是：只需在 M、N 各自的一套光滑图册中核验光滑性；换成任何其他相容坐标图后，坐标表示都会自动保持光滑。

新对象的含义是：令 M、N 为光滑流形。若对 M 的每张坐标图 (U,φ) 与 N 的每张坐标图 (V,ψ)，坐标表示 ψ∘f∘φ^{-1} 都在 φ(U∩f^{-1}(V)) 上成为 Euclidean 开集之间的光滑映射，则 f:M→N 称为光滑。符号 ∘ 表示复合：先作用最右边的映射。 每个导数都要读成两个明确切空间之间的线性映射；每张几何图都只是陈述的证据，仍需与坐标无关的证明。

请从定义重建例题“用避开一个切点的角坐标图，证明复数记号下 f:S¹→S¹、f(z)=z² 光滑，并核验坐标图交叠处发生什么。”。调用定理前先核验维数与假设，并始终保留这个失效边界：连续映射未必光滑；一个公式在某个任意参数中光滑也不够，除非该参数属于已声明的光滑图册。到达坐标图边界时，应换到相交坐标图，而不是在图的定义域之外求导。

只需在 M、N 各自的一套光滑图册中核验光滑性；换成任何其他相容坐标图后，坐标表示都会自动保持光滑。

设已核验坐标表示 g=ψ∘f∘φ^{-1}。换成新图 φ̃、ψ̃ 后，插入恒等映射可写成 ψ̃∘f∘φ̃^{-1}=(ψ̃∘ψ^{-1})∘g∘(φ∘φ̃^{-1})。

外侧两个映射是相容光滑坐标图之间的过渡映射，所以它们都在明确的交叠定义域上光滑。

Euclidean 光滑映射的复合仍光滑。所以新坐标表示光滑，从而证明定义不依赖所选图册中的坐标图。

用避开一个切点的角坐标图，证明复数记号下 f:S¹→S¹、f(z)=z² 光滑，并核验坐标图交叠处发生什么。

  1. 在角坐标图中写 z=e^{iθ}。只要目标角分支固定，就有 f(e^{iθ})=e^{i2θ}，所以坐标表示为 θ↦2θ；必要时再加 2π 的整数倍，使结果留在所选目标区间。
  2. 映射 θ↦2θ+2πm 在每个连通交叠块上都是普通光滑实函数，因为整数 m 在该块上恒定。
  3. 角坐标图过渡映射同样只增加 2π 的整数倍。与它们复合保持光滑，所以全部坐标表示光滑，f 是光滑圆周映射。

结果: 每个局部角坐标表示都在其交叠连通块上形如仿射映射 θ↦2θ+2πm；所以 z↦z² 在整个 S¹ 上光滑。