离散化究竟应该保持什么
目标: “离散化究竟应该保持什么”中哪一部分由拓扑或变分原理准确推出，哪一部分依赖网格几何、近似或求解器证据？
第 1 单元第 1 章从“离散化究竟应该保持什么”背后的计算问题开始。有限模型不可能保持全部连续特征，因此必须在选算法前说明要保持的不变量、近似目标与可接受证据。写矩阵前，先说明连续对象、保存它的网格对象、该对象的定向，以及离散化预计保持的不变量。
准确定义是：结构保持离散化是带有类型明确映射的有限系统；指定代数恒等式在其中准确成立，同时一致性映射把有限数据与声明的连续对象联系起来。因此每个符号都有类型：链不等于上链，关联矩阵不等于度量矩阵，原始胞腔不等于其对偶，准确代数恒等式也不等于观察到的收敛速度。
本章可使用的结论是：准确保持 d_h²=0 或离散变分恒等式，在逻辑上独立于数值解是否收敛到光滑解。推导沿这条可见路线进行：写出连续复形，选择离散空间与映射，标记准确交换的方块，再列出仍需分析或实验的范数与极限结论。拓扑运算与依赖度量的近似必须分开审计，不能让准确相消掩盖劣质 Hodge 星或无效网格。
完整例题是：比较 x′=0 的两个更新：x_{n+1}=x_n 与 x_{n+1}=−x_n；判断哪一个保持 |x|，哪一个满足一致性。计算前先声明排序、符号、单位、边界处理、求解器容差与算术精度。结果是：两个更新都准确保持 |x|，但只有 x_{n+1}=x_n 对任意初值具有零局部缺陷；只保持不变量不足以选出正确动力学。
失效案例属于概念本身：一个方法即使准确守恒某个量，也可能对所求解不一致、不稳定或不准确。因此可信的数值结论必须报告准确恒等式、近似假设、残差或误差范数、细化证据，以及第一条不再有依据的结论。
准确保持 d_h²=0 或离散变分恒等式，在逻辑上独立于数值解是否收敛到光滑解。
从“离散化究竟应该保持什么”的带类型定义出发。相乘任何数组前，先写出维数、胞腔定向、原始或对偶位置、系数空间与边界条件。
写出连续复形，选择离散空间与映射，标记准确交换的方块，再列出仍需分析或实验的范数与极限结论。逐项写出符号、转置、逆、求积权与投影。引入浮点度量数据前，先用符号或整数关联算术核验准确恒等式。
计算声明的模型，并独立检查其不变量、残差与细化行为，由此得到：两个更新都准确保持 |x|，但只有 x_{n+1}=x_n 对任意初值具有零局部缺陷；只保持不变量不足以选出正确动力学。论证在这条边界处停止：一个方法即使准确守恒某个量，也可能对所求解不一致、不稳定或不准确。
比较 x′=0 的两个更新：x_{n+1}=x_n 与 x_{n+1}=−x_n；判断哪一个保持 |x|，哪一个满足一致性。
- 列出每个胞腔的定向与编号，声明保存的上链值及度量权，并把“结构保持离散化是带有类型明确映射的有限系统；指定代数恒等式在其中准确成立，同时一致性映射把有限数据与声明的连续对象联系起来。”翻译成带维数的代数表达式。
- 写出连续复形，选择离散空间与映射，标记准确交换的方块，再列出仍需分析或实验的范数与极限结论。把准确关联算术与求积、线性求解及舍入分开。
- 计算所求量，分别检验结构恒等式与数值误差，并报告：两个更新都准确保持 |x|，但只有 x_{n+1}=x_n 对任意初值具有零局部缺陷；只保持不变量不足以选出正确动力学。
结果: 两个更新都准确保持 |x|，但只有 x_{n+1}=x_n 对任意初值具有零局部缺陷；只保持不变量不足以选出正确动力学。