直径是度量尺度
目标: 检查点 F01.01：不回看，具名写出“直径是度量尺度”中的每种对象类型，复现准确有限行，区分有限证据与所需极限或下确界，连同全部假设陈述定理桥梁，并指出变异后第一处无效推断。
F01.01 从对象声明开始，而不是从公式开始。具名写出底集合或群、度量、测度、尺度范围、指数、曲线族、映射与异常集。再用白话说明“直径是度量尺度”测量什么：直径记录一个覆盖集内部最大的声明度量距离；只有度量与坐标宽度一致时才是坐标宽度。没有来源、目标、尺度或量词的符号还不是可用数学。
计算前把类型读出来。半径是长度，覆盖数是计数，Hausdorff 含量是尺度幂之和的下确界，测度分配质量，能量惩罚振荡，模在整个曲线族上优化密度，而畸变比较映射前后的比。即使数字看似相容，也不能相加不同类型的量。
本章位于“直径受控覆盖、尺度截断、s-代价、Hausdorff 含量与测度、覆盖数、盒斜率及有限与渐近证据”之中。必须分开有限证据与渐近定义：一个网格不是维数，一行能量不是闭形式，一个切空间候选不是唯一切空间，一个许可密度不是模，一次畸变测量也不是拟共形性。极限运算及其顺序必须明确写出。
保留四本账。尺度账记录半径、直径、截断与伸缩权；质量账记录测度与归一化；路径账记录许可曲线、水平控制或测试三点组；定理账记录倍增、Ahlfors 正则、Poincaré、连通、分离、完备或分次群假设。只有相应账完整时，结论才能继续。
使用准确有限校准：F01.01：用 7 个边长为 1/2 的方形覆盖一个有限集合。声明的 s-代价是 7·(1/2)^s。把个数、直径约定、指数与尺度截断分列记录；把方形换成球可能改变常数，但不会自动改变所记录的尺度律。保留准确分数、幂、对数与根式直到最后显示。小数只是某个选定精度的证据，不能替代等式、极限或误差界。调用具名定理以前，先从定义复算同一行。
覆盖需要正确量词顺序。先固定最大直径，在全部许可覆盖中极小化 s-代价总和，然后才让截断缩小。颠倒这些运算会改变对象或使其无定义。对盒计数，要具名网格或覆盖约定，并区分上极限与真实极限。
测度增长不能从图像推断。Ahlfors Q-正则性是在每个许可中心与半径上带一致常数的双边估计。Frostman 上界是单边的，通常附着于构造测度。倍增比较嵌套球，但本身不会识别唯一准确幂 Q。必须说明真正可用的是哪条蕴含。
自相似是一套映射系统，不是装饰性重复。记录每个压缩映射、复合词、不动点、柱集、不变测度权与重叠假设。方程 Σr_i^s=1 给出相似指数；它与 Hausdorff 维数相等需要有依据的分离定理或独立重叠分析。
分形上的分析除了集合还需要能量定义域。写明逼近图或差商、重整化因子、层间相容性、闭包范数、常数与边界条件。极限 Laplace 算子是带定义域的算子；在一个图上写差分模板不会自动生成该算子。
热与扩散携带多种维数。Hausdorff 维数控制声明度量下的体积增长；游走维数控制时间—距离缩放；谱维数在额外理论下控制返回概率或特征值增长。这些数可以不同。没有证据时，不能把 Euclidean 的 t≈r² 缩放搬到分形上。
在次 Riemann 模型中，许可速度位于水平分布。声明向量场、括号、括号生成步数、内积、控制约定与 Carnot–Carathéodory 长度。环境坐标差不会自动成为行程距离，竖直位移可以由水平交换子回路产生。
Carnot 伸缩给不同层赋不同权。齐次维数是各层维数的加权和并控制 Haar 体积缩放；它通常大于拓扑维数。没有比较定理时，不能用 Euclidean Jacobian、普通导数或各向同性缩放替代分次版本。
模是对曲线族的整体优化。先核验候选密度对每条所需曲线收费，再对声明测度积分其 p 次幂，最后取下确界。一个许可密度给出上界；下界需要对偶、几何、Poincaré 或 Loewner 论证。
Loewner 控制在精确维数与正则假设下，把连续统的相对分离连接到模下界。它不是连通性的同义词。一个空间可以含许多曲线却不满足所需定量界；不连通或严重夹细的空间会使连接曲线族为空或可忽略。
拟共形、解析、模、拟对称与准 Möbius 表述在等价定理证明以前是不同定义。为每条桥梁具名写出同胚、正则性、维数、Loewner、连通与测度假设。不能因为下一步用另一种语言更方便，就暗中更换定义。
有边界定理路线是“截断与指数的单调性组织 Hausdorff 含量；在声明有界性与覆盖约定下，归一化覆盖数的上极限与下极限给出盒型界”。准确指出每个假设在哪一步进入、结论是局部还是整体，以及常数是否依赖维数、正则性、Poincaré、分离或畸变数据。具名结果不允许抹掉这些依赖。
执行必须的失效变异：交换下确界与极限、遗漏直径约定、由两行网格推断准确维数，或把有限覆盖当作最优覆盖。在第一个缺失定义或假设处停止。保留仍有效的最强结论——通常是有限上界、单尺度估计、候选指数、局部陈述或条件蕴含——并写出一项明确不主张。
用第二条路线重建 F01.01：更换覆盖、求解有限电阻网络、枚举括号回路、积分另一许可密度或测试逆三点组。比较准确中间账，而不只比较最终标量。由同一隐藏约定造成的一致不是独立核验。
分开定理证明、准确有限计算、数值逼近与经验模型主张。脚本可以审计计数、图能量、伸缩表或候选畸变比；它不能独自证明不可数覆盖下确界、几乎处处可微、热核渐近、统一化、刚性或拟共形等价。
最后为每本账各写一句话：尺度表示什么、测量哪种质量、对哪些路径或三点组量化、允许使用哪条定理，以及变异后什么失效。若任何一句必须含糊指着公式才能说出，就返回定义，不要背符号。
有边界定理 F01.01：在“直径是度量尺度”的尺度、质量、路径与假设账通过后，本章只可使用“截断与指数的单调性组织 Hausdorff 含量；在声明有界性与覆盖约定下，归一化覆盖数的上极限与下极限给出盒型界”；没有额外定理时，不推出更强维数恒等、解析等价、正则性、统一化、刚性或唯一性。
声明 F01.01 的完整数据：环境集合或群、度量、测度、尺度范围、指数、映射、曲线族与异常集。
操作符号以前，把“直径是度量尺度”翻译成带类型含义“直径记录一个覆盖集内部最大的声明度量距离；只有度量与坐标宽度一致时才是坐标宽度”。
从定义复算准确有限账，并保留分数、幂、对数、根式、符号与归一化。
把单尺度证据与目标陈述中的每个下确界、上确界、上极限、几乎处处或所有曲线量词分开。
独立核验尺度、质量、路径与定理账；不要让几何图像补上缺失假设。
只应用桥梁“截断与指数的单调性组织 Hausdorff 含量；在声明有界性与覆盖约定下，归一化覆盖数的上极限与下极限给出盒型界”，并具名说明所用每项正则、连通、分离、完备或分次结构输入。
审计结论类型与常数：局部或整体、上界或下界、准确或可比、取到或只取下确界。
通过真正独立的覆盖、网络、水平路径、密度或逆映射计算重建有限记录。
触发“交换下确界与极限、遗漏直径约定、由两行网格推断准确维数，或把有限覆盖当作最优覆盖”，在首个丢失假设处停止，并写出仍成立的最强结论及一项明确不主张。
例题重建 F01.01：只从原始记录“F01.01：用 7 个边长为 1/2 的方形覆盖一个有限集合。声明的 s-代价是 7·(1/2)^s。把个数、直径约定、指数与尺度截断分列记录；把方形换成球可能改变常数，但不会自动改变所记录的尺度律。”出发，推导“直径是度量尺度”，填写四本账，论证有边界定理桥梁，用第二条路线复算，再触发单元变异；不得移植来源例题或图示。
- 写出原始尺度、点、边、单元、曲线或三点组数据，不提供漂亮总计。
- 声明度量、测度、指数、定向或层权，以及每个归一化常数。
- 准确计算有限覆盖、增长、能量、长度、模代价或畸变行。
- 核验全部量词，并指出哪些行只是极限或下确界的候选。
- 只有在明确记录定理假设通过或失败后，才使用所述定理桥梁。
- 用独立构造重复，并先比较中间账，再比较结论。
- 应用变异，定位第一处无效推断，并报告有边界的仍成立结果。
结果: 答案 F01.01：保留的准确记录是“F01.01：用 7 个边长为 1/2 的方形覆盖一个有限集合。声明的 s-代价是 7·(1/2)^s。把个数、直径约定、指数与尺度截断分列记录；把方形换成球可能改变常数，但不会自动改变所记录的尺度律。”。它在声明有限尺度上支持带类型含义“直径记录一个覆盖集内部最大的声明度量距离；只有度量与坐标宽度一致时才是坐标宽度”。定理步骤以“截断与指数的单调性组织 Hausdorff 含量；在声明有界性与覆盖约定下，归一化覆盖数的上极限与下极限给出盒型界”为条件；发生“交换下确界与极限、遗漏直径约定、由两行网格推断准确维数，或把有限覆盖当作最优覆盖”后，在首个缺失假设处停止，只保留有限或条件结论。