具体的无限维向量：数列与函数
目标: 给出一个属于 ℓ² 但不属于 ℓ¹ 的数列。
向量不一定是短箭头或有限列。只要加法与数乘能逐坐标或逐点定义，整条无限数列或整个函数都可以作为一个向量；范数再说明什么叫“小”和“接近”。
先认清对象：符号 ℓᵖ（读作“小写 ell p”）表示满足 Σ|x_n|ᵖ<∞ 的数列 x=(x₁,x₂,…)（1≤p<∞），范数为 ||x||ₚ=(Σ|x_n|ᵖ)^{1/p}；ℓ∞ 包含全部有界数列，范数为 ||x||∞=sup_n|x_n|。空间 C[0,1] 包含 [0,1] 上连续函数；Lᵖ[0,1] 包含 p 次幂积分有限的可测函数，并把只在零测集上不同的函数视为同一个元素。 本节要建立的结论是：对正整数上的数列，若 1≤p<q<∞，则 ℓᵖ⊆ℓ^q 且 ||x||_q≤||x||_p。因此绝对可和推出平方可和，但反向可以失败。 每个符号都要读成关于明确空间、范数或拓扑以及收敛方式的陈述。
例题是：对 x_n=2^{-n}，计算其 ℓ¹ 与 ℓ² 范数，并解释两个数字分别衡量什么。 从“ℓ¹ 范数把坐标绝对值相加：Σ_{n=1}^∞2^{-n}=1。”开始，以“第一个范数衡量坐标绝对值总量；第二个范数衡量分布在无限坐标上的 Euclidean 能量。”收束。再把结果与相邻的失败情形比较，然后判断究竟证明了什么。
对正整数上的数列，若 1≤p<q<∞，则 ℓᵖ⊆ℓ^q 且 ||x||_q≤||x||_p。因此绝对可和推出平方可和，但反向可以失败。
若 x∈ℓᵖ，则每个坐标都满足 |x_n|≤||x||ₚ；否则单个坐标就会超过完整 p 次幂和。
先归一化到 ||x||ₚ=1。此时 |x_n|≤1，所以 q>p 时 |x_n|^q≤|x_n|ᵖ。
对 n 求和得 ||x||_q^q≤1，再恢复原尺度，得到 ||x||_q≤||x||ₚ。
对 x_n=2^{-n}，计算其 ℓ¹ 与 ℓ² 范数，并解释两个数字分别衡量什么。
- ℓ¹ 范数把坐标绝对值相加：Σ_{n=1}^∞2^{-n}=1。
- ℓ² 范数平方为 Σ4^{-n}=(1/4)/(1−1/4)=1/3，所以 ||x||₂=1/√3。
- 第一个范数衡量坐标绝对值总量；第二个范数衡量分布在无限坐标上的 Euclidean 能量。
结果: 同一数列在两个空间中都是一个向量，且 ||x||₁=1、||x||₂=1/√3。即使底层坐标列表不变，范数也会改变几何。