域扩张同时是向量空间，次数度量代数大小
目标: 为什么 {1,√2,2} 虽张成同一个域，却不是基？
写 F⊂E 表示运算与单位元相容，因此 E 可视为 F 上向量空间。其维数记录需要多少个 F 坐标，而不是两个域各有多少集合元素。 开始时先写明基域、扩域、多项式环、所选根、次数，以及结论讨论的是嵌入、自同构还是抽象同构。本章的准确结论是：若 E/F 的次数有限为 n，则对任意固定 x∈E，乘以 x 是 n 维 F 向量空间上的线性映射；E 的每个元素都在 F 上代数。
本章计算的对象是：域扩张 E/F 是域的包含，F 是 E 的子域。次数定义为 [E:F]=dim_F E，可以有限或无限。若 {e_i} 是一组基，则每个 x∈E 都有唯一有限表示 x=Σa_ie_i，其中 a_i∈F。 Galois 理论只有在检查存在性、可分性、正规性与不动域假设后，才能把多项式根的对称转成群的对称。
请不照抄域图，重建准确题目“证明 Q(√2) 的 Q-基是 {1,√2}，并在该基下计算 (3+2√2)^{-1}。”。逐项核验不可约性、次数、根的像与不动元素，再检验这个限制：有限次数蕴含代数扩张，但代数扩张可以是无限次数，因为它可能需要无限多个线性无关的代数生成元。
若 E/F 的次数有限为 n，则对任意固定 x∈E，乘以 x 是 n 维 F 向量空间上的线性映射；E 的每个元素都在 F 上代数。
n+1 个向量 1,x,x²,…,x^n 位于 n 维 F 空间 E 中，因此线性相关。
因此存在不全为零的 a_0,…,a_n∈F，使 a_0+a_1x+…+a_nx^n=0。
非零多项式 Σa_it^i 以 x 为根，这正是 x 在 F 上代数的定义。
证明 Q(√2) 的 Q-基是 {1,√2}，并在该基下计算 (3+2√2)^{-1}。
- 每个关于 √2 的有理表达式都可用 (√2)²=2 化为 a+b√2，因此 {1,√2} 张成。
- 若 a+b√2=0 且 a,b 为有理数、b≠0，则 √2=−a/b 为有理数；矛盾，所以 a=b=0，二者线性无关。
- 乘以共轭式：1/(3+2√2)=(3−2√2)/(9−8)=3−2√2。
结果: [Q(√2):Q]=2，基为 {1,√2}，且 (3+2√2)^{-1}=3−2√2。