不规则集合需要感知维数的大小，而不是一种通用体积
目标: 为什么“这条线段测度为零”是不完整陈述？
Lebesgue 体积适合测量满维区域，却把平面光滑曲线和空间光滑曲面的体积都记为零。因此几何测度论同时追问集合有多大，以及它在哪个维数上携带质量。 开始时先声明环境度量空间、所测维数、测度归一化、是否使用定向，以及结论针对每一点、几乎每一点、规则集还是奇异集。
每个几何符号都要按定义阅读：对 E⊂R^n，L^n(E) 表示 n 维 Lebesgue 测度；稍后构造的 H^s 用来测量 s 维大小。环境维数 n、所测维数 s、度量与归一化是彼此独立的输入。 本章建立的准确结论是：R² 中长度为 ℓ 的线段具有零 L² 测度，但在标准 H¹ 归一化下应有一维大小 ℓ；两者回答不同维数的问题，因此并不矛盾。
证明路线可以逐步核验：1. 用长 ℓ、宽 ε 的矩形覆盖线段；该矩形的平面面积为 ℓε。 2. 令 ε↓0，使开覆盖面积任意小，从而证明线段的 L² 测度为零。 3. 沿线段使用参数 t↦a+tv，其中 0≤t≤ℓ；单位速度累积的一维长度为 ∫_0^ℓ1dt=ℓ。 每次取极限都要保留一致质量或变差界、紧性拓扑、下半连续步骤、重数、边界，以及防止消去或弥散损失的假设。
调用一般定理前，先独立重建“R² 中一条线段长度为三，用宽 1/100 的矩形覆盖。计算矩形面积，并写出线段的平面测度与标准一维测度。”。随后检验最近失效情形：集合可以具有零 s 维测度却仍有维数 s，也可以具有无穷 H^s 而在另一维 t 上有有限 H^t。维数与测度值不能压缩成同一个数。 这样才能区分图像与测度陈述、驻对象与极小化子、紧性与正则性。
R² 中长度为 ℓ 的线段具有零 L² 测度，但在标准 H¹ 归一化下应有一维大小 ℓ；两者回答不同维数的问题，因此并不矛盾。
用长 ℓ、宽 ε 的矩形覆盖线段；该矩形的平面面积为 ℓε。
令 ε↓0，使开覆盖面积任意小，从而证明线段的 L² 测度为零。
沿线段使用参数 t↦a+tv，其中 0≤t≤ℓ；单位速度累积的一维长度为 ∫_0^ℓ1dt=ℓ。
R² 中一条线段长度为三，用宽 1/100 的矩形覆盖。计算矩形面积，并写出线段的平面测度与标准一维测度。
- 覆盖矩形面积为 3·(1/100)=3/100。
- 允许宽度趋于零，说明线段的平面 Lebesgue 测度为零。
- 在标准长度归一化下，它的 H¹ 测度等于线段长度，即三。
结果: 该有限覆盖面积为 3/100；线段本身的 L² 测度为零，H¹ 测度为三。