变换是算子，不是神奇的字母替换
目标: 积分算完后，为什么不能再把 s 换回 t？
积分变换把函数与一族核形状逐一比较，并记录所得系数。变换变量标记使用了哪一个核成员，并不是把原输入换个字母。 使用任何变换表之前，先说明原变量、变换变量、核、积分或求和区域、归一化、单位与收敛假设。本章的准确结论是：若 f 与 g 的积分都存在，则对标量 a、b 有 T(af+bg)=aTf+bTg。
用精确语言说，本章对象是：对核 K(s,t)，积分变换在积分存在时定义为 (Tf)(s)=∫_D K(s,t)f(t)dt；t 被积分消去，s 给输出编号。 变换只是同一个已声明对象的新表示，并不允许忽略定义域、端点、正则性或逆变换存在条件。
用具体问题“令 t≥0 时 K(s,t)=e^{-st}。对实数 s>−1，计算 T(2e^{-t}+3e^{-2t})(s)。”让每个符号都能落实。请重建三个步骤，在原表示中核验结果，再检查这个边界：线性不保证积分存在；两个分别发散的积分不能先拆开再当作有限数操作。
若 f 与 g 的积分都存在，则对标量 a、b 有 T(af+bg)=aTf+bTg。
把 af(t)+bg(t) 代入定义积分。
利用积分线性把两项分开，并把常数移到积分号外。
把剩下两个积分认作 Tf 与 Tg，并限制在共同输出定义域上。
令 t≥0 时 K(s,t)=e^{-st}。对实数 s>−1，计算 T(2e^{-t}+3e^{-2t})(s)。
- 合并指数后，两项被积函数为 2e^{-(s+1)t} 与 3e^{-(s+2)t}。
- 当 a>0 时，∫₀∞e^{-at}dt=1/a；s>−1 使 a=s+1 与 a=s+2 都为正。
- 使用线性得到 2/(s+1)+3/(s+2)。
结果: 对实数 s>−1，有 Tf(s)=2/(s+1)+3/(s+2)。