对称是保持已声明结构的可逆变换
目标: 只保持面积能否让平面映射成为 Euclidean 对称？
正方形旋转或反射后距离不变，但“看起来没变”不是定义。必须说清被变换的集合、允许的映射以及被保持的结构。 先找变换以及它保持的量，再把图景写成群、流形、代数或表示。必须声明标量域是 R 还是 C，并说明每个映射究竟是线性的、光滑的、连续的、酉的、代数的，还是只有集合意义。
运算前逐个读出记号：Sym(X,s)={g:X→X｜g 为双射且 s(gx,gy)=s(x,y)}；e 是恒等变换；g^{-1} 撤销 g。 对象及其所在空间是：群是带结合乘法的集合 G，具有单位元 e，且每个 g 都有逆元 g^{-1}。对称群以映射复合作为乘法。 gh 表示群乘法，而 XY 可能表示复合或矩阵乘法；两者都不能擅自交换次序。
本章使用的准确定理或有边界结论是：保持固定结构的双射对复合与取逆封闭，因此构成群。 完整证明路线是：1. 复合两个保持结构的映射，并在保持等式中连续代入两次。 2. 用恒等映射核验单位元。 3. 令 x=g^{-1}u、y=g^{-1}v，证明逆映射也保持结构。 连通性、紧致性、闭性、单连通性、特征、有限维以及实形式或复形式的选择，必须在真正使用它们的步骤处写明。
重建准确模型“在 R² 上核验 r(x,y)=(-y,x) 保持 x²+y²，并求 r⁴。”。计算依次为：1. 计算 (-y)²+x²=x²+y²。 2. 连续作用两次得到 r²(x,y)=(-x,-y)。 3. 再作用两次回到 (x,y)。 核验结果是：r 保持 Euclidean 范数且 r⁴=e；它生成正方形的四个旋转。 最近的失效边界是：不可逆的结构保持映射至多构成幺半群；例如常值映射可能保持恒为零的关系，却没有逆。
矩阵表、权图、特征标数值、截断张量积、有限轨道样本或数值积分，只能作为已声明例子的证据。它本身不证明整体分类、收敛、不可约性、完备性、几何实现或无限维 Plancherel 定理。诊断题是“只保持面积能否让平面映射成为 Euclidean 对称？”；答案是：不能。剪切 (x,y)↦(x+y,y) 的行列式为一并保持面积，却改变多数长度与角度。
保持固定结构的双射对复合与取逆封闭，因此构成群。
复合两个保持结构的映射，并在保持等式中连续代入两次。
用恒等映射核验单位元。
令 x=g^{-1}u、y=g^{-1}v，证明逆映射也保持结构。
在 R² 上核验 r(x,y)=(-y,x) 保持 x²+y²，并求 r⁴。 这是按本章定义得到的准确陈述，必须结合对象所在空间阅读。
- 计算 (-y)²+x²=x²+y²。 这是按本章定义得到的准确陈述，必须结合对象所在空间阅读。
- 连续作用两次得到 r²(x,y)=(-x,-y)。 这是按本章定义得到的准确陈述，必须结合对象所在空间阅读。
- 再作用两次回到 (x,y)。 这是按本章定义得到的准确陈述，必须结合对象所在空间阅读。
结果: r 保持 Euclidean 范数且 r⁴=e；它生成正方形的四个旋转。