等正态 Gaussian 族把 Hilbert 方向变成随机坐标
目标: 对“等正态 Gaussian 族把 Hilbert 方向变成随机坐标”，请指出导数或算子的类型、支撑决定性证明箭头的假设，以及发生“仅有线性与两两协方差并不能定义联合 Gaussian 族，除非另行包含或构造联合 Gaussian 性。”时首先失去的结论。
第 1 单元第 1 章从一个具体问题开始：“等正态 Gaussian 族把 Hilbert 方向变成随机坐标”。指标 h 是确定性方向，而 W(h) 是中心 Gaussian 随机变量。Malliavin 演算是在已声明的 Gaussian 噪声方向上对随机输出求导。搬动 D、δ、L 或协方差矩阵以前，我们先说清概率空间、等正态 Gaussian 族、Cameron–Martin 方向、随机变量，以及运算所在的范数。
逐个对象读正式陈述：实可分 Hilbert 空间 H 上的等正态 Gaussian 族是线性映射 W:H→L²(Ω)，满足 E[W(h)W(g)]=⟨h,g⟩_H。导数 DF 不是在普通导数旁加一个随机符号；它是 H 值随机对象。H 记录允许扰动的噪声方向，外层 Lp 空间记录随机可积性。因此 D^{1,p}、Dom(δ) 或 Dom(L) 这样的定义域都是数学结论的一部分。
本章有边界的定理目标是：对 h_1,…,h_m，向量 (W(h_1),…,W(h_m)) 为中心 Gaussian，其协方差等于 Gram 矩阵 (⟨h_i,h_j⟩)。我们严格区分 Lp 中相等、几乎处处相等、Gaussian Sobolev 范数收敛及同分布。先在光滑柱随机变量上证明的公式，只有在相应算子可闭且逼近列在图范数中受控后才能推广。
证明路线是：从“实可分 Hilbert 空间 H 上的等正态 Gaussian 族是线性映射 W:H→L²(Ω)，满足 E[W(h)W(g)]=⟨h,g⟩_H。”出发，先在光滑柱随机变量上证明恒等式，再通过所述 Gaussian Sobolev 或算子闭包传递，并准确停在“对 h_1,…,h_m，向量 (W(h_1),…,W(h_m)) 为中心 Gaussian，其协方差等于 Gram 矩阵 (⟨h_i,h_j⟩)。”。每个箭头都标出输入类型和所需假设。有限维 Gaussian 分部积分先给出基础恒等式，再由闭包、对偶、混沌正交、半群压缩或切向方程把它传递到所述无限维对象，同时不暗中加强结论。
一项计算把对象类型变得可见：令 e_1,e_2 正交归一、h=2e_1−e_2；计算 Var W(h) 与 Cov(W(h),W(e_1+e_2))。在形成行列式、散度、生成元值、条件投影或近似误差前，我们保留 Gaussian 坐标、协方差或 Gram 矩阵、导数向量、混沌系数、时间网格及准确分数。核验终点是：方差为 ||h||²=5，协方差为 ⟨2e_1−e_2,e_1+e_2⟩=1。
假设改变后第一条无效步骤也属于课程内容：仅有线性与两两协方差并不能定义联合 Gaussian 族，除非另行包含或构造联合 Gaussian 性。可信论证要报告仍成立的较弱陈述、修复所需的额外非退化性、可积性、适应性、光滑性、括号或逆矩条件，以及有限模型不能证明的结论。
始终分开三层。代数层对已声明的光滑泛函求导或展开；分析层证明算子、逆协方差或密度估计属于指定空间；概率层把结果解释为敏感度、表示、绝对连续、光滑密度或逼近界。通过一层不等于自动认证另外两层。
本章以重建而不是眼熟收尾。你必须从原始模型出发，重建定义，说明定理决定性箭头的依据，复算准确终点，触发失效变异，并写出修复后的结论。只说出定理名称或碰巧得到一个相同小数，不算完成。
本章有边界的定理是：对 h_1,…,h_m，向量 (W(h_1),…,W(h_m)) 为中心 Gaussian，其协方差等于 Gram 矩阵 (⟨h_i,h_j⟩)。该等式或蕴含只具有这里声明的光滑性、可积性、定义域及收敛含义，不暗中包含更强的前沿结论。
给“实可分 Hilbert 空间 H 上的等正态 Gaussian 族是线性映射 W:H→L²(Ω)，满足 E[W(h)W(g)]=⟨h,g⟩_H。”中的每个对象标类型。柱泛函是有限个 Gaussian 坐标的函数，其梯度被送回 H。对极限对象，要选择柱逼近列，并写明同时控制随机变量及其导数的图范数。
先证明有限坐标恒等式。明确写出 Gaussian 密度或协方差矩阵，只对普通光滑函数求导，在有依据的边界极限下做分部积分，再把坐标梯度翻译成 H 内积。这是无限维记号可检查的来源。
建立所述路线的第一条蕴含：从“实可分 Hilbert 空间 H 上的等正态 Gaussian 族是线性映射 W:H→L²(Ω)，满足 E[W(h)W(g)]=⟨h,g⟩_H。”出发，先在光滑柱随机变量上证明恒等式，再通过所述 Gaussian Sobolev 或算子闭包传递，并准确停在“对 h_1,…,h_m，向量 (W(h_1),…,W(h_m)) 为中心 Gaussian，其协方差等于 Gram 矩阵 (⟨h_i,h_j⟩)。”。记录该步使用的是柱随机变量的稠密性、伴随定义、正交混沌分解、压缩估计、交换公式，还是线性化随机方程。
控制到目标空间的传递。若出现无界算子，要证明输入与像同时收敛；若出现逆矩阵，要声明可逆事件及其行列式所需的矩；若出现随机积分，要区分适应的 Itô 积分与预见的散度积分。
独立计算有限检查点：令 e_1,e_2 正交归一、h=2e_1−e_2；计算 Var W(h) 与 Cov(W(h),W(e_1+e_2))。保留准确协方差项与导数分量，再核验“方差为 ||h||²=5，协方差为 ⟨2e_1−e_2,e_1+e_2⟩=1。”。该计算检查带类型恒等式，但不能替代一般极限所需的闭包或一致可积论证。
结论前先测试变异：仅有线性与两两协方差并不能定义联合 Gaussian 族，除非另行包含或构造联合 Gaussian 性。定位证明中第一条失去意义或依据的行。保留此前仍成立的恒等式，只丢弃无依据的后果，并写出一个能修复该行的具体假设。
以上步骤准确建立“对 h_1,…,h_m，向量 (W(h_1),…,W(h_m)) 为中心 Gaussian，其协方差等于 Gram 矩阵 (⟨h_i,h_j⟩)。”。除非另行构造相应对象与估计，否则它们不证明完整 Hörmander 定理、粗糙路径提升、SPDE 正则结构、跳噪声演算或特定应用的校准结论。
需要从准确输入重建的例题是：令 e_1,e_2 正交归一、h=2e_1−e_2；计算 Var W(h) 与 Cov(W(h),W(e_1+e_2))。把指定 Gaussian 坐标、基方向、协方差项、时间单元及参数一直保留到最终比较，不在中途省略。
- 写出“令 e_1,e_2 正交归一、h=2e_1−e_2；计算 Var W(h) 与 Cov(W(h),W(e_1+e_2))。”的完整有限输入：列出 Gaussian 坐标、协方差项、函数、时间单元及每个声明参数。求导前先核验协方差正定性与全部概率归一化。
- 把本章定义作用于原始泛函。逐坐标求导，保留相应基向量，再组装 H 值导数或矩阵，不省略指标。
- 沿“从“实可分 Hilbert 空间 H 上的等正态 Gaussian 族是线性映射 W:H→L²(Ω)，满足 E[W(h)W(g)]=⟨h,g⟩_H。”出发，先在光滑柱随机变量上证明恒等式，再通过所述 Gaussian Sobolev 或算子闭包传递，并准确停在“对 h_1,…,h_m，向量 (W(h_1),…,W(h_m)) 为中心 Gaussian，其协方差等于 Gram 矩阵 (⟨h_i,h_j⟩)。”。”计算模型所需的中间内积、散度、混沌系数、半群因子、切向解、括号方向或条件投影。
- 用第二条路线重算终点，例如普通 Gaussian 矩、协方差计算、直接条件期望或矩阵恒等式。比较时既核对数值，也核对对象类型。
- 两条有效路线在“方差为 ||h||²=5，协方差为 ⟨2e_1−e_2,e_1+e_2⟩=1。”处相遇。写出使它们一致的准确假设，再触发边界变异并记录第一处差异，不强迫旧公式继续成立。
结果: 核验终点是：方差为 ||h||²=5，协方差为 ⟨2e_1−e_2,e_1+e_2⟩=1。这是所示有限模型在其声明假设下的结果；它检查本章恒等式，但本身不证明没有限制的无限维定理。