数、数字记号与位值
目标: 98,765 与 101,002 哪个更大？最早决定大小的是哪一个位值事实？
自然数是 0、1、2、3 等数，用来记录有多少个对象，也包括一个都没有。数是抽象的数量，数字记号是这个数量的书面表示。十进制使用 0 到 9 这十个数字。一个数字本身没有固定大小；它所在的位置决定它表示个位、十位、百位、千位，还是更小的小数位。因此 4,307 中的 4 表示四千，而 0.04 中的 4 表示四个百分之一。
展开式会显示每一位对数值的贡献。52,084 表示 5×10,000 + 2×1,000 + 0×100 + 8×10 + 4。某一位上的 0 虽然贡献为零，却可能是不可缺少的占位符。因此比较正整数时，应从最高非零位开始，而不是把数字相加或只看写得宽不宽。
每个非负整数都有唯一的不带多余前导零的十进制表示。
把对象每十个分成一组。未分组对象的个数一定在 0 到 9 之间，它唯一确定个位数字。
把每个完整的十个小组捆成一个更大的组并重复操作。新的未分组数量唯一确定十位，再确定百位以及后续每一位。
有限集合最终不会再留下更大的组。两个不同的数字串不可能表示同一个集合：在最左侧不同的位置，一个表示至少多出一个完整大组，而所有更小位合在一起也无法补足这个大组。
把 708,305 写成展开式，并说明每个 0 的作用。
- 从十万位到个位依次读出：7、0、8、3、0、5。
- 把每个数字乘以对应位值：7×100,000 + 0×10,000 + 8×1,000 + 3×100 + 0×10 + 5。
- 两个 0 分别保留万位和十位；如果删掉内部的 0，后面的数字会移位，从而改变整个数。
结果: 700,000 + 8,000 + 300 + 5。内部的每个 0 不增加数量，但固定了后续数字的位置。