读懂测度符号：集合、集合族与大小规则
目标: 同一个集合 A 能有不同测度吗？
测度论把普通长度常常混在一起的三件事分开：有哪些可能对象、允许测量哪些对象集合、以及用什么数值规则测量它们。先读懂这三层，符号就不会变成没有含义的代码。
先从定义开始：在 (X,𝓕,μ) 中，X 是全部可能点组成的集合；𝓕（读作“花体 F”）是被宣布可以测量的子集族；μ（读作“mu”）是大小规则；μ(A) 是分配给可测子集 A 的数字。另外，∅ 是空集，A⊆X 表示 A 的每个点都在 X 中，A^c 是 X 中不属于 A 的部分，∪ 表示并集，∩ 表示交集，Σ 表示把列出的项相加。 本节要建立：在有限集合 X={x₁,…,x_n} 上，选取非负权重 w₁,…,w_n，并把 μ(A) 定义为 A 中各点 x_i 对应 w_i 的和。这就在全部子集上定义了一个测度。若这些权重之和为一，μ 就是概率测度，μ(A) 表示结果落入 A 的概率。
本节具体例题是：某个有偏六面骰子被赋予 (1,1,1,1,2,2)/8。写出每一面的概率并检查总和。 把它与这个失败边界比较：“概率质量函数”中的“质量”只是一种比喻，表示总概率 1 怎样分配到一个个精确结果上；它不是物理质量，也不能代替对元组的解释。像 (1,1,1,1,2,2)/8 这样的列表必须逐项展开说明。
在有限集合 X={x₁,…,x_n} 上，选取非负权重 w₁,…,w_n，并把 μ(A) 定义为 A 中各点 x_i 对应 w_i 的和。这就在全部子集上定义了一个测度。若这些权重之和为一，μ 就是概率测度，μ(A) 表示结果落入 A 的概率。
空集没有点，所以权重之和为零：μ(∅)=0。
若可测集合 A₁,A₂,… 两两不交，相加权重时没有任何点被重复计算。
因此它们并集的权重等于各自权重之和；有限 X 上至多只有有限个不交集合非空，所以可数可加性成立。
某个有偏六面骰子被赋予 (1,1,1,1,2,2)/8。写出每一面的概率并检查总和。
- 六个位置按顺序对应点数 1、2、3、4、5、6；共同分母 8 表示把每个列出的数都除以 8。
- 所以 P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=1/8，而 P(5)=P(6)=2/8=1/4。
- 把六个概率相加：四个 1/8 加两个 2/8，得到 (4+4)/8=1。
结果: 点数 1–4 各自的概率是 1/8；点数 5–6 各自的概率是 1/4。后两个点数中的每一个，出现概率都是前四个任一点数的两倍。