定向单元通过作用而不只是占据
目标: 向学过 Euclidean 流但没学过度量流的读者讲清“定向单元通过作用而不只是占据”。解释“定向片受测试时返回带符号数，因此相同承载集上的相反定向可以消去”，按类型读每个符号，重建 C01.01，论证有边界桥梁，并诊断单元变异。
C01.01 先问几何问题而不是先堆记号：环境可能没有坐标或微分形式时，“定向单元通过作用而不只是占据”怎样保留定向、重数、边界与消去？用白话说，定向片受测试时返回带符号数，因此相同承载集上的相反定向可以消去。学习者先认清被作用对象与返回量。
把类型读出来。X 是声明的完备或局部度量空间；T 是 k 维流；(f,π₁,…,π_k) 是 Lipschitz 测试元组；||T|| 是质量测度；M(T) 是有限时的总质量；∂T 是边界；φ#T 是推前；C01.01 是审计标签。流是多线性泛函，不是子集、参数化、正测度或普通向量。支撑由质量行为导出；质量忘记定向；边界降低维数。
本章教学含义是“定向片受测试时返回带符号数，因此相同承载集上的相反定向可以消去”，放在单元焦点“带符号泛函、Lipschitz 探针、维数、定向、重数，以及几何承载集与代数作用之区别”中理解。列出输入度量、维数、系数群、定向约定、重数、测试正则性、支撑条件，以及有限性是整体还是仅局部。
分开五本账：作用账计算带符号测试元组；质量账为正并控制作用；边界账记录代数面或端点；支撑账记录每个邻域都有质量的位置；收敛账说明是弱、平坦、内蕴平坦、Hausdorff 或其他声明方式。
有限记录是：在 X={a,b,c} 上令带符号 0-链的权为 (1，-2，1)，并令 f(a,b,c)=(1，2，3)。声明作用为 1·1+-2·2+1·3=0；把符号权换成绝对值会计算类似质量的数据，而不是流的作用。先复算带符号作用，再取绝对值；随后独立复算质量与边界。这个顺序会暴露支撑图无法显示的定向消去。
有边界定理路线是：有限定向 Lipschitz 链定义多线性局部泛函；零维作用是带符号加权求值，反向定向改变作用但不改变质量。标出使用完备性、有限质量、局部紧致、可求长性、整数重数、边界质量控制、锥不等式、紧性或公共环境空间的准确步骤。符号 T 本身不会赠送这些假设。
测试元组连续性是序列型且带类型的：改变一个 Lipschitz 坐标探针时保留一致 Lipschitz 控制，并把它与流序列的弱收敛区分。局部性在某探针于系数支撑邻域为常数时使测试消失；它不是“远处几何永远无关”的含糊说法。
边界与推前先是代数运算，然后才有几何图像。只有每个作用都有定义时，才能核验 ∂∂T=0 与 ∂(φ#T)=φ#(∂T)。非适当映射、局部有限性丢失或无依据的限制会让展示式失去定义。
可求长性表示质量在忽略零集后由可数个 Lipschitz 像承载；整数可求长还控制重数。它不表示支撑是光滑流形、无重叠嵌入、没有分支点或具有唯一参数化。
平坦比较同时允许同维误差与高一维填充。小平坦值可以隐藏薄消去或被丢弃体积，而小 Hausdorff 距离可以保留流已消去的支撑。没有定理时，绝不能把一种收敛标签换成另一种。
执行必须的变异：用支撑替代流、把正测度当成有定向、遗漏测试系数，或由有限链推断光滑切平面。在第一个缺失定义或定理假设处停止，写出仍有效的最强结论，并明确不主张光滑性、唯一性、最优性、拓扑或物理解释。
为 C01.01 写依赖卡，列为数据、类型、运算、符号约定、质量界、边界项、收敛方式、紧性输入与首个失效点。只有每一列都能读成完整句子，公式才算理解。
用第二条路线重建有限行：细分链、反转一个定向、通过明确 Lipschitz 映射推前、用具名单元填充或约化系数。比较准确的带符号作用、质量与边界，而不只比较最终标量。
分开定理证明与数值证据。网格可以认证代数边界、一个许可填充上界或变异轨迹；它不能独自证明可数可求长性、闭性、下半连续性、紧性、极小填充存在或内蕴距离相等。
最后只改变一项——定向、重数、系数群、环境嵌入、边界控制、紧性或局部性。重算五本账并解释哪些结论仍成立。这样的单变量变异防止把 C01.01 记成没有类型的套用步骤。
有边界定理 C01.01：有限定向 Lipschitz 链定义多线性局部泛函；零维作用是带符号加权求值，反向定向改变作用但不改变质量。只有核验准确假设与量词以后，才把该陈述用于“定向单元通过作用而不只是占据”。
声明 C01.01 的完整输入：度量空间、维数、系数群、流类别、测试元组、支撑条件及整体或局部有限性。
只在相应槽位精确核验多线性、探针的序列连续性与局部性。
先根据“在 X={a,b,c} 上令带符号 0-链的权为 (1，-2，1)，并令 f(a,b,c)=(1，2，3)。声明作用为 1·1+-2·2+1·3=0；把符号权换成绝对值会计算类似质量的数据，而不是流的作用。”建立准确带符号作用，再计算质量、支撑或任何绝对量。
按定义计算边界、限制、切片或推前，并在一个单元校准模型上核验符号。
应用单元桥梁“有限定向 Lipschitz 链定义多线性局部泛函；零维作用是带符号加权求值，反向定向改变作用但不改变质量”，具名说明所用紧性、可求长性、下半连续性、填充或公共环境步骤。
审计量词：每个测试元组、几乎每个切片、一个子列、一个公共空间、对填充取下确界或对嵌入取下确界互不可换。
独立复算 C01.01，保留准确定向、重数、系数、边界与容差记录。
触发“用支撑替代流、把正测度当成有定向、遗漏测试系数，或由有限链推断光滑切平面”，在首个丢失假设处停止，并陈述仍成立的较弱主张，不把证据升级成一般定理。
根据这项有限流记录用两条路线重建 C01.01：在 X={a,b,c} 上令带符号 0-链的权为 (1，-2，1)，并令 f(a,b,c)=(1，2，3)。声明作用为 1·1+-2·2+1·3=0；把符号权换成绝对值会计算类似质量的数据，而不是流的作用。报告带符号作用、质量、边界、支撑，以及真正有依据的最强定理层陈述。
- 列出每个定向单元或参数化片，并声明系数与重数。
- 在具名 Lipschitz 测试元组上计算流的作用，并显式保留符号。
- 分开计算质量与支撑，再在消去被隐藏以前计算边界。
- 构造声明的限制、切片、推前、填充或公共空间比较。
- 通过细分、反向定向、系数约化或独立填充重复计算，并比较准确账。
- 应用变异，找出第一处无效步骤，并报告最强诚实结论。
结果: 核验结果 C01.01：应用声明定向与系数以后，两条准确路线在作用、质量与边界上相符。这只认证有限账及展示界，不认证未列出的紧性、最优性、光滑性或收敛定理。