多变量微积分

本课共有 52 个可见章节。一处温度可以同时取决于东西位置和南北位置；一项成本可以同时取决于多个选择。当输入不止一个时，变化、最陡方向、最佳选择、面积与体积应当怎样计算？课程先用点、向量、距离、二次曲面、曲线和等高线图建立空间直觉，再用距离定义“靠近”、边界与连续——这个精确定义称为基于范数的极限；接着把导数解释为附近最好的线性预测，这以后才把对应矩阵叫作 Jacobian，把上升最快的方向叫作梯度。随后从具体区域建立逆映射、隐式方程组、最优化、多重约束、二重与三重积分、函数图形曲面面积、参数敏感度、反常积分、坐标变换，以及联合、边缘与条件密度。本课有意止于一般线积分、曲面积分、Green 定理、Stokes 定理与散度定理之前；这些内容属于独立的《向量微积分》课程。

本课程之前: 已完成单变量微积分 I 与 II 以及线性代数第 1–3 单元；能够使用向量、矩阵、行列式、方程组、极限、导数、积分、参数曲线与三角恒等式。

第 1 章

点、位移向量、范数与距离

目标: 为什么 P、Q 是点，而 Q−P 却是向量？

点表示位置，向量表示位移；两者坐标外观可能相同，但变换与组合的理由不同。

先从定义开始：对 v=(v₁,…,vₙ)，欧氏范数为 ||v||=√(v₁²+⋯+vₙ²)，P 到 Q 的距离为 ||Q−P||。本节要建立：欧氏范数非负、齐次，并满足三角不等式 ||u+v||≤||u||+||v||。

本节具体例题是：求 P=(1,−2,3) 到 Q=(5,1,−1) 的位移、距离与中点。把它与这个失败边界比较：未声明原点的坐标不能区分绝对位置与位移向量；逐分量取绝对值也不是欧氏长度。

欧氏范数非负、齐次，并满足三角不等式 ||u+v||≤||u||+||v||。

两边平方并展开 ||u+v||²=||u||²+2u·v+||v||²。

用柯西–施瓦茨不等式 u·v≤||u||||v|| 控制交叉项。

右侧不超过 (||u||+||v||)²；两边非负，因此取平方根。

求 P=(1,−2,3) 到 Q=(5,1,−1) 的位移、距离与中点。

Q−P=(4,3,−4)。
距离为 √(4²+3²+(−4)²)=√41。
中点为 (P+Q)/2=(3,−1/2,1)。

结果: 位移为 (4,3,−4)，距离为 √41，中点为 (3,−1/2,1)。