SYSTEMATIC MATHEMATICS

非线性椭圆与抛物正则性

为什么能量解可以变成 Hölder 连续，却仍没有经典导数？为什么 p-Laplacian 会随梯度大小改变尺度？为什么黏性解要用接触检验，而不是分部积分？为什么光滑方程仍可能产生奇异集或移动自由边界？本 Stage 5 博士专业核心用 12 个按内容定长单元、81 个可见双语章节回答这些问题，单元长度依次为 6、8、7、8、7、5、7、8、6、7、6、6。课程首先区分存在、唯一、弱表述、正则性、边界行为与数值外观；定义结构常数与临界缩放；推导能量、比较、Caccioppoli、紧性、De Giorgi、Moser、Harnack、Schauder 与 Calderón–Zygmund 机制。随后发展拟线性散度方程、单调算子、p-Laplacian 与 V_p 几何、反向 Hölder 自改进、调和逼近、非标准增长、黏性接触、Pucci 极值、双变量比较、ABP、Krylov–Safonov、Evans–Krylov、Bellman 与 Isaacs 边界、拟凸变分积分、部分正则、容量、重整化解、Wolff 势、可去奇性及非线性 Wiener 检验。抛物部分构造时间弱解、能量与 Harnack 理论、内蕴柱、正性扩张、多孔介质与快速扩散边界、双重非线性流、非线性梯度超额、完全非线性抛物比较与稳定、控制方程及单调格式。最后几个单元研究障碍互补性、放大、Bernoulli 与 Stefan 界面、Allen–Cahn 极限、椭圆方程组、调和映射、极小曲面、平均曲率流、尚未解决的三维 Navier–Stokes 光滑性边界，以及六个可独立复现的研究档案。每章都用文字定义符号，逐步推导一种机制，求解一个具体例子，指出最近失效情形，并区分定理、形式计算与图像。本课为选定非线性正则理论提供博士研究准备；它不声称构成通用博士后课程表，也不声称完整覆盖每种非线性 PDE、方程组、边界几何、奇异流、随机方程或开放正则问题。

本课程之前: 已完成 Sobolev 空间、分布与弱 PDE，测度与 Lebesgue 积分，泛函分析，变分法，偏微分方程，调和分析与小波，以及优化与凸分析，并完成支撑它们的实分析、拓扑与微分几何路线。学习者必须已经能够使用弱导数、Sobolev 嵌入与紧性、对偶空间、单调算子、测度收敛、分布分部积分、经典椭圆/抛物方程与基础流形。不预设已经统一学习 De Giorgi–Nash–Moser 理论、黏性解、完全非线性方程、非线性势、内蕴抛物几何或自由边界。

COURSE FACTSLevel, chapters, units, prerequisite, and outcome
第 1 章

正则性定理问什么、又不问什么

目标: 为什么定理必须区分 Ω′⊂⊂Ω 与 Ω 本身？

弱解可以存在于能量空间中，却没有逐点导数。正则性定理从准确声明的弱解类出发，在指定区域上证明它属于更小、更光滑的函数类。 估计解之前，先写明区域、方程类型、解的语言、系数结构、数据空间、缩放、边界或初始条件，以及结论成立的较小区域。

不要只看公式猜意思，请按定义逐个阅读符号：设 Ω⊂R^n，内部估计形如 ‖u‖_Y(Ω′)≤C(‖u‖_X(Ω)+‖f‖_Z(Ω))，其中 Ω′⊂⊂Ω。X 是假设的解空间，Y 是提升后的空间，Z 衡量数据；常数 C 可以依赖 dist(Ω′,∂Ω) 与结构常数。 本章建立的准确结论是：内部 Hölder 正则性陈述不会自动给出边界连续性，也不会自动证明存在或唯一；这些结论必须另行建立。

证明路线可以逐步核验：1. 识别输入空间 X、提升空间 Y、数据空间 Z 以及嵌套区域 Ω′⊂⊂Ω。 2. 追踪截断函数导数产生的每个常数，从而显露其对 Ω′ 到边界距离的依赖。 3. 把已证估计与想要的整体声称比较，并列出缺少的边界几何、迹数据或相容条件。 每次取极限都要记录一致估计、收敛拓扑、能够保留下来的非线性项，以及防止集中或边界数据丢失的假设。

使用一般定理前，先独立重建“在 Ω=(−1,1) 上令 u(x)=|x|。判断它是否属于 W^{1,∞}(Ω)、C^{0,1}(Ω) 与 C^1(Ω)，并说明哪一项相对于 W^{1,2} 是正则性提升。”。随后检验最近的失效情形：当 Ω′ 接近 ∂Ω 时，内部估计常数可以发散。光滑系数不能修复凹角、不相容边界数据，也不能替代尚未证明存在的解分支。 这样才能把正则性、存在性、唯一性与数值外观区分成四类声称。

内部 Hölder 正则性陈述不会自动给出边界连续性，也不会自动证明存在或唯一；这些结论必须另行建立。

识别输入空间 X、提升空间 Y、数据空间 Z 以及嵌套区域 Ω′⊂⊂Ω。

追踪截断函数导数产生的每个常数，从而显露其对 Ω′ 到边界距离的依赖。

把已证估计与想要的整体声称比较，并列出缺少的边界几何、迹数据或相容条件。

在 Ω=(−1,1) 上令 u(x)=|x|。判断它是否属于 W^{1,∞}(Ω)、C^{0,1}(Ω) 与 C^1(Ω)，并说明哪一项相对于 W^{1,2} 是正则性提升。

  1. 弱导数几乎处处等于 sign(x)，其绝对值由一控制。
  2. 反三角不等式给出 ||x|−|y||≤|x−y|，所以 u 是 Lipschitz 函数。
  3. 零点左右导数分别为 −1 与 1，所以 u 不属于 C^1。

结果: 该函数属于 W^{1,∞} 与 C^{0,1}，因而也属于 W^{1,2}，但不属于 C^1；从仅有 W^{1,2} 能量假设提升到 Lipschitz 是真实的正则性增益。