PDE 从未知量、区域与数据开始
目标: 检查点 HD01.01：不回看，具名写出“PDE 从未知量、区域与数据开始”的未知量与每种对象类型，复现准确有限行，区分经典、弱、熵或渐近主张，连同全部假设陈述定理桥梁，指出变异后第一处无效推断，并解释为何缩放标签或有限计算不能替代该缺失步骤。
HD01.01 先说明未知量是什么：它可能是标量 u(t,x)、向量 U(t,x)、复振幅，或取值于流形的映射。显示方程以前，写明时间区间、空间区域、边界条件、初值、系数场与目标空间。用白话说，“PDE 从未知量、区域与数据开始”所问的是：识别求解对象、所在空间及哪些初值或边值把一个公式变成问题。一个符号出现在熟悉公式里，并不等于已经解释。
把每种类型读出来。t 是时间，x 是位置，ξ 是频率，τ 是时间频率，u_t 是变化率，∇u 是空间斜率，Δu 是空间二阶导数之和；f(u) 只有在声明后才是通量或外力；范数是在具名函数空间中测量大小的规则。单位或数学角色不同的数，不能只因算术可做就混在一起。
把方程写成机制之间的平衡。输运项移动信息，散度项记录穿过边界的通量，波算子把加速度与空间曲率联系起来，色散项分离 Fourier 相位，却不会自动耗散能量。符号约定很重要。把一项移到等号另一边会改变书写符号；只有同时一致更新整条方程与约定，机制才保持不变。
求导以前先区分经典解与弱解。经典解有足够逐点导数，使显示的每一项都有意义；分布解要与光滑紧支撑测试函数配对，把导数移到测试函数上；熵解还增加许可不等式，因为特征线相交后守恒律可能有多个弱延拓。没有逼近或链式法则定理时，不能把逐点恒等式搬到弱解。
保留四本账。方程账记录符号、系数、区域、数据与解类别；传播账记录特征速度、锥、群速度或 Fourier 相位；估计账记录范数、常数、导数数目、时间区间及所有依赖；定理账记录正则性、双曲性、对称性、许可指数、小量性、紧性或几何假设。只有相应账完整，结论才能前进。
使用准确有限校准：HD01.01：对冻结二阶符号 τ²+3τξ+1ξ²，判别式为 3²−4·1=5。说双曲、椭圆或重根以前，记录基点、协向量 ξ、符号约定与重数；一行冻结数据不能分类整个变系数算子。保留分数、根式、相位与符号幂直到最后显示。舍入小数可以在一个精度上测试数据行，但不能替代恒等式、分布等式、无限时间极限或误差估计。调用具名结果以前，要从定义直接重建该行。
特征线是使一阶方程简化的路径，不是装饰曲线。由空间导数前的系数推导路径方程，只在系数场有定义的区间求解，并追踪被携带或受迫的值。两条投影特征线相遇时，光滑标量解可能不再存在；接下来的对象可以是带激波的弱解，而不是多值经典图像。
对守恒律，质量平衡与熵选择回答不同问题。Rankine–Hugoniot 平衡确定间断为保持守恒所需的速度；熵条件决定该间断是否是物理和数学选出的弱解。稀疏扇、压缩激波与接触间断具有不同特征几何。命名波以前，计算通量导数并比较两侧。
能量估计把方程转成范数控制。要说明能量含哪些导数、能量是否为正且与目标 Sobolev 范数等价、哪些边界项消失，以及系数导数如何进入。Grönwall 把微分不等式变成随时间变化的界；它不会找回丢失导数、删除爆破判据，也不会自动把局部解变成整体解。
有限传播是支撑定理，衰减是大小定理。波锥说明信息在某时刻以前不能到达哪里，却不说明锥内振幅。逐点衰减通常结合能量、几何、交换子、振荡或向量场不等式。把支撑半径、传播速度、导数阶数与衰减权分别列出。
非线性迭代需要完整声明映射与空间。定义解映射、它作用的球、控制线性解与 Duhamel 项的范数、时间或数据小量因子，以及差估计。把球映回自身还不够；唯一性需要压缩或另一种稳定机制。所得寿命依赖证明中保留的准确数据范数与常数。
零形式是与特征方向对齐的代数消去。要在完整双线性符号或张量上核验，而不是只试一对向量。消去可以改善时空可积性并削弱危险相互作用，但整体存在仍需要维数、正则性、衰减、小量性与结构假设。拟线性方程还会改变传播几何，因此激波形成仍是独立边界。
Fourier 变换把空间微分变成频率乘法。要声明变换归一化与符号，求解所得时间常微分方程，再做逆变换。单个 Fourier 乘子的模常保持一，而物理空间衰减来自许多相位间的消去。驻点、Hessian 秩、振幅支撑与端点可积性决定真正可用的色散估计。
混合时空范数在时间与空间问不同问题。在 L_t^qL_x^r 中，先在每个时刻取空间 r-范数，再取时间 q-范数；交换顺序可能改变数值。许可指数关系依赖方程、维数、缩放，有时还依赖端点或导数损失。使用 Strichartz、光滑化、极大或限制型估计以前，要说明传播子与区间。
二进分解是频率尺度记账系统。说明截断函数、重叠次数、齐次或非齐次约定，以及零频处理。Bernstein 不等式只在局部化频块上用频率幂交换可积性或导数。仿乘积把高—低、低—高与同频相互作用分类；它不会让每个乘积估计在缩放或正则阈值以下都成立。
缩放识别无量纲正则指数，不是定理。计算时间、空间、振幅与所选范数如何变换。次临界、临界或超临界标签总是相对于该缩放与范数。质量或能量守恒可在某些符号与幂次下控制临界量，但聚焦方程即使形式守恒，也可能有孤子、阈值或爆破。
散射是指非线性解在时间趋向某端点、通常为无穷时，于声明范数中逼近相应线性方程的解。有界能量不等于散射，弱收敛也不等于强渐近完备。集中紧性论证先在精确的模对称紧性下抽取最小障碍；随后刚性论证必须用额外动力学排除它。
数值证据有自己的定理账。记录网格、时间步、边界闭合、数值通量或谱滤波器、守恒总量、稳定条件、收敛研究与残差。格式可以保持离散质量却选错熵解，也可能分辨低频而混叠高频色散。有限计算只验证声明数据行，除非已经证明相容性、稳定性、紧性与极限识别。
本单元可以使用的定理通道为“实单特征分解提供局部传播方向，而正对称化子只在所述光滑性与一致性假设下把主部系统转成能量估计”。把它改写成假设、机制、结论与被排除的更强主张。只要缺一个假设，就保留计算但降低结论等级。单元变异是“用低阶项分类、遗漏协向量、允许特征重数改变、混淆相速度与依赖域，或由一个冻结符号推出整体适定性”。要定位证明中第一行使用被移除性质的位置，而不是含糊说定理不适用。
最后做复述教学。向没学过本课的人解释“PDE 从未知量、区域与数据开始”：具名未知量与方程，翻译每个符号，计算准确有限行，识别范数或弱表述，列出每个定理假设，并展示一个失效变异。如果任何句子依赖未经论证的跳步、笼统标签或未具名估计，说明仍不完整，必须重写。
有边界定理 HD01.01：在“PDE 从未知量、区域与数据开始”的方程、传播、估计与假设账通过后，本章只可使用“实单特征分解提供局部传播方向，而正对称化子只在所述光滑性与一致性假设下把主部系统转成能量估计”；没有另一条定理时，不推出更强整体存在、唯一、衰减、熵选择、端点估计、散射、爆破分类或最优阈值。
证明路线 HD01.01.1——范围：声明未知量、方程、区域、数据、系数正则性、边界行为、解类别与要证明的准确命题。分开存在、唯一、稳定、正则、衰减与渐近，因为它们彼此不是同义词。
证明路线 HD01.01.2——类型：展开“PDE 从未知量、区域与数据开始”使用的每个导数、通量、符号、范数与配对。核验每项运算在声明空间之间映射，并确认乘积、迹或复合在保留正则性下有定义。
证明路线 HD01.01.3——有限校准：从原始声明两次推导“HD01.01：对冻结二阶符号 τ²+3τξ+1ξ²，判别式为 3²−4·1=5。说双曲、椭圆或重根以前，记录基点、协向量 ξ、符号约定与重数；一行冻结数据不能分类整个变系数算子。”，一次直接代入，一次用本单元合适的守恒、特征线、Fourier 或量纲检查。两路一致只验证该行，不验证无限定理。
证明路线 HD01.01.4——机制：分离负责输运、守恒、色散、消去或控制能量的项。执行分部积分、沿特征线求导、符号分解或 Duhamel 分解，并显示全部符号与边界项。
证明路线 HD01.01.5——估计：把每项放入具名范数，写出所用不等式及其指数范围与常数依赖，并在不暗中丢失导数的情况下闭合。若需要小因子，指出它来自时间、数据大小、频率分离还是结构。
证明路线 HD01.01.6——构造：用光滑化、Galerkin 截断、消失黏性、迭代、频率截断或声明有限格式构造逼近。证明在取极限所需拓扑中的一致界，并保留初值与边界数据。
证明路线 HD01.01.7——通过与识别：说明每个序列的收敛方式，论证非线性通过或熵产生，识别极限方程，并只证明有边界桥梁“实单特征分解提供局部传播方向，而正对称化子只在所述光滑性与一致性假设下把主部系统转成能量估计”。仅有弱收敛不能通过任意非线性乘积。
证明路线 HD01.01.8——独立审计：从第二种表述重建特征速度、能量恒等、相位关系或缩放指数，并比较中间账。核验重建中没有进入文献措辞、例题数据、证明顺序或视觉几何。
证明路线 HD01.01.9——边界：触发“用低阶项分类、遗漏协向量、允许特征重数改变、混淆相速度与依赖域，或由一个冻结符号推出整体适定性”，标出第一条无效蕴含，并保留仍成立的最强陈述。报告剩下的是有限恒等、先验估计、弱解、局部寿命、条件散射主张，还是只有数值证据。
例题重建 HD01.01：只从原创原始记录“HD01.01：对冻结二阶符号 τ²+3τξ+1ξ²，判别式为 3²−4·1=5。说双曲、椭圆或重根以前，记录基点、协向量 ξ、符号约定与重数；一行冻结数据不能分类整个变系数算子。”出发，解释每个符号，推导“PDE 从未知量、区域与数据开始”，填写四本账，论证有边界定理桥梁，独立复算关键步骤，再触发失效变异；不得移植来源例题、数据集、证明布局或图片。
- 步骤 HD01.01.A：抄录原始方程与数据，不改变符号、归一化、单位、区域或截断。
- 步骤 HD01.01.B：把每个符号翻译成对象类型，并说明每个导数、变换、范数与乘积在哪里有定义。
- 步骤 HD01.01.C：重新计算准确有限账“HD01.01：对冻结二阶符号 τ²+3τξ+1ξ²，判别式为 3²−4·1=5。说双曲、椭圆或重根以前，记录基点、协向量 ξ、符号约定与重数；一行冻结数据不能分类整个变系数算子。”，在近似以前保留全部准确运算。
- 步骤 HD01.01.D：推导把该数据行连接到“PDE 从未知量、区域与数据开始”的传播、能量、熵、相位或缩放机制。
- 步骤 HD01.01.E：审计“实单特征分解提供局部传播方向，而正对称化子只在所述光滑性与一致性假设下把主部系统转成能量估计”的每项假设，并标为有证据通过、失败或未提供。
- 步骤 HD01.01.F：用独立路线重复关键计算，并在比较结论以前比较中间量。
- 步骤 HD01.01.G：应用变异，在第一处断裂推断停止，并用白话报告仍成立的最强有边界结论。
结果: 答案 HD01.01：保留的准确数据行是“HD01.01：对冻结二阶符号 τ²+3τξ+1ξ²，判别式为 3²−4·1=5。说双曲、椭圆或重根以前，记录基点、协向量 ξ、符号约定与重数；一行冻结数据不能分类整个变系数算子。”。它只在声明方程、数据与有限尺度上支持带类型含义“识别求解对象、所在空间及哪些初值或边值把一个公式变成问题”。定理步骤仍以“实单特征分解提供局部传播方向，而正对称化子只在所述光滑性与一致性假设下把主部系统转成能量估计”为条件；发生“用低阶项分类、遗漏协向量、允许特征重数改变、混淆相速度与依赖域，或由一个冻结符号推出整体适定性”后，在首个缺失假设处停止，只保留有限恒等、经审计估计或明确条件结论。