整除是整数上的存在关系
目标: 不看已经写出的步骤，证明或验证这个精确结论：“若 a∣b 且 a∣c，则对全部整数 m,n 有 a∣(mb+nc)。”然后求解“证明 7 整除 3·35−2·14，并给出商见证。”，并把结果代回原等式、同余式、分解或算法检查。
写作 a∣b 表示 a 乘某个整数等于 b；商见证很重要，零情形必须显式处理。
先读懂记号再使用：对整数 a、b，记号 a∣b 表示存在整数 k∈Z 使 b=ak。 本节要建立的结论是：若 a∣b 且 a∣c，则对全部整数 m,n 有 a∣(mb+nc)。 凡是使结论成立的商、余数、系数、指数、剩余或因子，都作为可检查的见证保留下来。
例题是：证明 7 整除 3·35−2·14，并给出商见证。 按编号完成精确运算，再把结果与原陈述比较。失效边界单独列出，避免在某个假设已经消失后仍套用熟悉公式。
若 a∣b 且 a∣c，则对全部整数 m,n 有 a∣(mb+nc)。
选择见证 b=ar 与 c=as。
代入得 mb+nc=a(mr+ns)。
因 mr+ns 是整数，按定义得到整除。
证明 7 整除 3·35−2·14，并给出商见证。
- 计算 35=7·5 与 14=7·2。
- 于是 3·35−2·14=7(15−4)。
- 表达式等于 7·11=77。
结果: 成立；商见证为 11。