绝对误差、相对误差、截断误差与数据误差
目标: 精确答案为零时能否照常使用相对误差？
每次计算都从一个精确目标与一个近似值开始；不同误差度量回答不同问题，没有尺度信息时不能互换。
先读懂目标与误差度量，再运行算法：对精确值 x 与近似值 x̂，绝对误差为 |x−x̂|；当 x≠0 时相对误差为 |x−x̂|/|x|。截断误差来自用有限过程代替无限过程，数据误差则已存在于输入。 本节要建立的保证是：若 |x−x̂|≤ε 且 |x|≥m>0，则相对误差至多为 ε/m；若没有 |x| 的正下界，就不能作这种换算。 每个报告数字都保留数据尺度、范数、精度、停止准则与离散方式。
例题是：用 1.414 近似 √2，计算绝对误差与相对误差。 从“用 √2≈1.414213562，减去 1.414。”开始，以“除以 √2，得到相对误差约 1.51×10⁻⁴。”完成。再使用所述残差、界、不变量或细化比较，判断这些数字究竟认证了什么。
若 |x−x̂|≤ε 且 |x|≥m>0，则相对误差至多为 ε/m；若没有 |x| 的正下界，就不能作这种换算。
从 |x−x̂|≤ε 出发，除以已知正量 |x|。
用 |x|≥m 得到 1/|x|≤1/m。
合并不等式得到 |x−x̂|/|x|≤ε/m。
用 1.414 近似 √2，计算绝对误差与相对误差。
- 用 √2≈1.414213562，减去 1.414。
- 绝对误差约为 0.000213562。
- 除以 √2，得到相对误差约 1.51×10⁻⁴。
结果: 绝对误差约 2.14×10⁻⁴，相对误差约 0.0151%；参考值本身也经过舍入，所以最后显示的数字是近似的。