怎样逐个读懂一行 PDE
目标: 当 x、y 是空间变量时，Δu 是什么意思？
PDE 公式是被压缩的语言。动手变形之前，先把每个符号展开成名词或动作：未知量是什么、它在哪里取值、沿哪个方向变化、已知什么、要求什么。
先认清对象再变形方程：在“Ω 内 L[u]=f，∂Ω 上 u=g”中，u 是未知场；L 是对 u 求导或组合的规则；方括号表示“把 L 作用到 u 上”；f 是区域内部的源；Ω（大写 omega）是所研究的区域；∂Ω 是该区域的边界；g 给出边界上的数值。 本节要建立的结论是：对 u_t=k(u_xx+u_yy)+q，下标 t 表示对时间求一次导数，xx 与 yy 表示沿相应空间方向求两次导数，k 是扩散率，q 是单位时间加入的热量。整句的意思是“温度随时间的变化 = 曲率造成的扩散 + 局部供给”。 每一步都保留区域、时间区间、强迫项、初值、边界数据与解的类别。
例题是：在正方形 0<x<π、0<y<π 上，逐项读懂并验证 u(x,y,t)=e^{-2t}sin x sin y 满足 u_t=u_xx+u_yy 及零边值。 从“对时间求导：u_t=−2e^{-2t}sin x sin y。”开始，以“在 x=0、x=π、y=0 或 y=π 上，总有一个正弦因子为零，所以四条边上的值都为零。”完成。随后分别检查区域内部的 PDE 与每个相关数据曲面；图像可以说明结果，但不能代替这些检查。
对 u_t=k(u_xx+u_yy)+q，下标 t 表示对时间求一次导数，xx 与 yy 表示沿相应空间方向求两次导数，k 是扩散率，q 是单位时间加入的热量。整句的意思是“温度随时间的变化 = 曲率造成的扩散 + 局部供给”。
先把等号读成左右两边的平衡，不要立刻把它当成求解指令。
逐个翻译导数：u_t 问固定位置时场怎样随时间变化；u_xx 与 u_yy 衡量空间斜率本身怎样变化。
最后补上区域、初始状态与边界数据；缺少这些信息时，显示的微分规律仍对应许多可能的场。
在正方形 0<x<π、0<y<π 上，逐项读懂并验证 u(x,y,t)=e^{-2t}sin x sin y 满足 u_t=u_xx+u_yy 及零边值。
- 对时间求导：u_t=−2e^{-2t}sin x sin y。
- 分别沿两个空间方向求两次导数：u_xx=−e^{-2t}sin x sin y、u_yy=−e^{-2t}sin x sin y，因此二者之和等于 u_t。
- 在 x=0、x=π、y=0 或 y=π 上，总有一个正弦因子为零，所以四条边上的值都为零。
结果: 该公式同时满足区域内部的热方程和四条边界条件；t=0 时的初始场为 sin x sin y。