函数族把结构与参数分开
目标: 为什么定义域必须通过代数变换，而不能靠视觉记忆平移？
函数族用参数从共同结构规则中选出一个成员。在 f(x)=a·g(b(x−h))+k 中，母函数 g 提供定性形状，a、b、h、k 分别控制竖直缩放或反射、水平缩放或反射，以及平移。图像变化应通过追问“哪个原输入产生所需变换输入”来推导，而不是背方向清单。
变换不仅改变外观，也作用于定义域和值域。若 g 的定义域为 D，则 g(b(x−h)) 要求 b(x−h)∈D。竖直平移改变值域，水平平移改变定义域边界。只有处理参数符号与排除值后，零点、极值、渐近线与对称性才可预测地变换。绘图窗口可能隐藏这些事实，却不能改变它们。
当 b≠0 时，y=g(b(x−h))+k 的图像由 y=g(x) 水平缩放 1/|b| 倍；b<0 时再关于竖线 x=h 反射，随后平移 h 与 k。
母图像点 (u,g(u)) 出现在变换图像中时满足 b(x−h)=u，所以 x=h+u/b。
u 的差在 x 坐标中除以 |b|，得到水平比例 1/|b|；负 b 会反转左右顺序。
输出变为 g(u)+k，产生竖直平移 k；输入解包含 h，产生水平平移。
从 g(x)=√x 出发，分析 f(x)=−2√(3(x−4))+5 的定义域、值域、起点、反射与缩放。
- 被开方数要求 3(x−4)≥0，所以 x≥4。母函数输入零在 x=4 出现，起点为 (4,5)。
- 因子 3 把水平距离压缩为 1/3。外因子 −2 关于水平线 y=5 反射，并把竖直距离加倍。
- 由于平方根非负，−2√·≤0，加 5 后值域为 (−∞,5]。
结果: 定义域 [4,∞)，值域 (−∞,5]，起点 (4,5)。