实分析

本课程分为 9 个按内容定长的单元，各单元分别有 4、6、4、4、4、4、4、6、4 章，共有 40 个可直接学习的知识章节。微积分中的规则为什么真的成立，又会在什么条件下失效？本课从熟悉的实数轴、上界、嵌套区间与普通数列开始。ε、δ、N、上极限、闭包及每个新符号第一次出现时都会先读出来，再把“越来越接近”“始终有界”“数轴没有缺口”和“同一个误差界处处有效”写成可证明的精确陈述。课程现在明确证明完整的数列桥梁：由 Bolzano–Weierstrass 从有界数据中抽取收敛子列，再用 Cauchy 控制与该子列极限迫使整个实数列收敛。随后重新建立带尾项认证的级数、紧致性、连续性、包括 Darboux 定理在内的导数理论、超出连续函数范围的 Riemann 积分、函数项级数的一致收敛、连续函数空间的完备性、Arzelà–Ascoli 子列抽取与组合误差预算。每个定理都指出究竟是哪条假设在起作用；最后用一条不跳步的依赖链证明根的存在与唯一，给出二分法误差界，并证明一个精确积分。

本课程之前: 已完成微积分以及证明、逻辑与集合论。课程假设掌握极限、导数、Riemann 和直觉、初等级数、量化证明、集合、函数、可数性、归纳与反证，但不要求拓扑学、测度论、复分析或抽象代数。