Riemann 度量把切向量与余切向量变成可度量的几何量
目标: 为什么 grad f 不直接等于 df 的坐标对？
流形只提供方向；只有在每点光滑选择正定内积后才有长度。度量还联系梯度、一形式、体积与算子范数，因此后续每个估计都依赖这一步声明。 计算前先写明流形、度量、维数、符号约定、正则性、完备性或紧致性假设，并说明结论是局部、整体、逐点、积分意义，还是只在切割集或奇异集之外成立。
把符号逐个读成文字：Riemann 度量 g 是 Sym²(T*M) 的光滑正定截面。对 v∈T_pM，|v|_g=sqrt(g_p(v,v))；对 α∈T_p*M，由 g(α^♯,v)=α(v) 定义 α^♯，并记 X^♭=g(X,·)。 本章使用的准确结论是：升降指标映射 ♭:TM→T*M 与 ♯:T*M→TM 是互逆的光滑丛同构，梯度为 grad f=(df)^♯。
完整证明路线是：1. 正定性使 v↦g(v,·) 在每个有限维切空间上单射。 2. 维数相等使该单射成为同构，并定义其逆 ♯。 3. 逆度量矩阵 g^{ij} 的光滑性保证两个丛映射与 grad f 都光滑。 要把坐标恒等式与不变量陈述分开，并保留每个曲率界、端点条件、等号情形、收敛拓扑与半径限制。
从定义重建模型“在 R² 上取 g=4dx²+dy²，计算 |(1,2)|_g，以及 f(x,y)=x+y 的 grad f。”。核验结果是：范数为 2sqrt2，且 grad f=(1/4)∂_x+∂_y。 最近的失效情形是：非退化不定度量也给出 ♭ 与 ♯，却不给正范数；仅连续的正张量也未必支持后续光滑 Levi–Civita 计算。 绘出的测地线、有限网格、浮点特征值或小残差，只有在度量、坐标、步长、容差、归一化与尚未核验的整体假设都记录后，才构成证据。
升降指标映射 ♭:TM→T*M 与 ♯:T*M→TM 是互逆的光滑丛同构，梯度为 grad f=(df)^♯。
正定性使 v↦g(v,·) 在每个有限维切空间上单射。
维数相等使该单射成为同构，并定义其逆 ♯。
逆度量矩阵 g^{ij} 的光滑性保证两个丛映射与 grad f 都光滑。
在 R² 上取 g=4dx²+dy²，计算 |(1,2)|_g，以及 f(x,y)=x+y 的 grad f。 这是按本章定义得到的准确结果，并未提前舍入。
- g((1,2),(1,2))=4·1²+2²=8，所以范数为 2sqrt2。 这是按本章定义得到的准确结果，并未提前舍入。
- df=dx+dy 的系数向量为 (1,1)，逆度量为 diag(1/4,1)。
- 因此 grad f=(1/4)∂_x+∂_y。 这是按本章定义得到的准确结果，并未提前舍入。
结果: 范数为 2sqrt2，且 grad f=(1/4)∂_x+∂_y。 这是按本章定义得到的准确结果，并未提前舍入。