分布回答测试函数问题
目标: 不回看正文，重建“分布收敛就是对每个固定测试函数的配对都收敛，并且极限仍保持连续性。”，显示尺度或缩并预算，复算检查点，并说明在“把一般分布写成仿佛具有点值 T(x)，会制造无定义对象。”下最先失效的一行。
第 1 单元第 1 章从问题“分布回答测试函数问题”开始。奇异随机偏微分方程之所以称为“奇异”，不是因为某个系数看起来很大，而是因为噪声或解只能作为分布理解，而非线性表达式要求一个普通函数演算尚未定义的乘积、复合或导数。
先用日常语言读核心对象：开集上的分布是一个连续线性规则，它给每个光滑紧支撑测试函数赋一个标量。操作公式以前，要写出每个分布作用在哪里、允许哪些测试函数、一个抛物尺度单位是什么意思，以及等式究竟是经典、分布、依概率、依分布，还是只在重建以后成立。
本章有边界的定理目标是：分布收敛就是对每个固定测试函数的配对都收敛，并且极限仍保持连续性。它的假设属于结论本身。正则指数、被排除的整数层、紧区域、模型范数、核矩条件与局部次临界余量，不能在记住结论以后被删掉。
证明路线是：从这一定义开始：开集上的分布是一个连续线性规则，它给每个光滑紧支撑测试函数赋一个标量。接着声明时空缩放、正则指数、测试函数归一化、逼近参数与乘积约定。只使用这条定理：分布收敛就是对每个固定测试函数的配对都收敛，并且极限仍保持连续性。计算有限尺度账本：在三点网格上令 T(phi)=2phi(-1)-phi(0)+3phi(1)；对 phi=(1,2,-1) 求值。在这条失效边界处停止：把一般分布写成仿佛具有点值 T(x)，会制造无定义对象。有效箭头可能使用二进局部化、Bernstein 估计、旁乘积界、交换子抵消、Gaussian 协方差缩并、Schauder 正则增益、模型再展开、重建、不动点估计或重整化模型收敛定理。只报一个框架名称并不构成证明。
有限账本是：在三点网格上令 T(phi)=2phi(-1)-phi(0)+3phi(1)；对 phi=(1,2,-1) 求值。保留每个二进层、指数、协方差项、缩并次数、反项、多项式次数、树标签与余项。核验终点是：有限配对为 2-2-3=-3。这个有限计算只检验一条代数或尺度主张；它本身不能构造极限随机分布。
失效变异属于数学正文：把一般分布写成仿佛具有点值 T(x)，会制造无定义对象。要定位第一个无定义乘积、丢失指数、发散尺度和、非法模型作用或依赖逼近的极限。没有声明重整化规则并证明稳定性以前，不得擅自指定一个偏好值后继续。
始终分开五本账。分析账记录正则性与尺度和；概率账记录协方差、混沌、矩与收敛方式；代数账记录符号、乘积、余乘积、缩并与重新定心；方程账记录不动点映射；逼近账记录磨光核、网格、反项与残差。没有定理时，证据不能在不同账本之间自动转移。
重整化不是随意减去任何碍眼无穷大的许可。反项必须来自已声明的逼近与代数缩并规则，产生具有一致界的模型，并在声明的普适类内得到与可丢弃正则化器无关的极限。不同方程与对称性可能允许不同反项。
本章以重建而不是术语眼熟收尾。重建对象类型，计算尺度预算，说明决定性连续估计，换一条路线复算有限账本，触发变异，并写出仍有依据的最强结论。树图、模拟或熟悉的缩写不能替代这些步骤。
在推导旁保留四栏审计：原始表达式；它无定义或不稳定的原因；所选增强对象或反项；把增强对象重新连接到解的定理。如果第四栏为空，只能报告形式或正则化计算。若结果依赖磨光核、网格、边界约定或重新定心基点，要显示这种依赖，不能把它藏起来。
有边界的定理：分布收敛就是对每个固定测试函数的配对都收敛，并且极限仍保持连续性。除非另有声明，这里不包含端点、超临界、整体、普遍、数值或应用主张。
给“开集上的分布是一个连续线性规则，它给每个光滑紧支撑测试函数赋一个标量。”中的每个对象标类型。记录环境分布空间、缩放向量、齐次度、测试函数类、基点与逼近指标。区分随机分布与一次实现，也区分形式符号与它的模型实现。
建立尺度预算。对每个二进块或重缩放测试函数，写出尺度参数的预测幂。检查相关几何级数是收敛、临界对数发散，还是按正幂发散。
核验“分布收敛就是对每个固定测试函数的配对都收敛，并且极限仍保持连续性。”背后的分析箭头。写出等式两侧范数、指数不等式、局部化区域及使用的多项式矩或抵消。除非本章另作证明，不声称端点等号情形。
核验随机箭头。取期望以前先计算协方差或混沌缩并，写明矩阶，并说明收敛是 Lp、依概率、依分布还是模型拓扑。只有有界期望不能推出逐样本收敛。
严格按声明应用增强或重整化规则。追踪每个被减去的缩并与每个重新定心多项式。检查该操作保持后续不动点映射所需的乘积、积分与结构群恒等式。
重建有限检查点“在三点网格上令 T(phi)=2phi(-1)-phi(0)+3phi(1)；对 phi=(1,2,-1) 求值。”并核验“有限配对为 2-2-3=-3。”。再用一条独立路线复算，例如二进指数表、直接协方差求和、Wick 配对计数、余乘积计算或模型再展开。
触发“把一般分布写成仿佛具有点值 T(x)，会制造无定义对象。”并指出最先失效的一行。以上论证只证明“分布收敛就是对每个固定测试函数的配对都收敛，并且极限仍保持连续性。”；它不证明超临界方程、任意非 Gaussian 强迫、所有区域或边界条件、整体存在、不变测度唯一性、生产级离散化或物理有效性。
需要重建的有限尺度模型：在三点网格上令 T(phi)=2phi(-1)-phi(0)+3phi(1)；对 phi=(1,2,-1) 求值。保留每一层、指数、系数、符号类型与逼近记录。
- 写出“在三点网格上令 T(phi)=2phi(-1)-phi(0)+3phi(1)；对 phi=(1,2,-1) 求值。”的准确有限输入：尺度层、系数、指数表、协方差项、符号次数、逼近参数与反项约定。
- 逐层或逐缩并计算。标明每行属于原始对象、共振相互作用、重新定心修正、重整化模型、重建分布还是方程残差。
- 只有核验指数或配对预算以后才求和。保留准确分数、对数、符号幂与被丢弃尾项，不得用没有解释的小数或零替代。
- 用独立尺度表、协方差恒等式、Wick 规则、代数余作用或重建配对重算终点。除数值相等外，还要检查类型与齐次度。
- 两条路线都到达“有限配对为 2-2-3=-3。”。写出使二者一致的假设，触发失效变异，并记录第一个不再可用的指数、乘积、模型恒等式或极限。
结果: 核验终点：有限配对为 2-2-3=-3。它只在声明假设下认证所述有限检查点。