SYSTEMATIC MATHEMATICS

随机过程与随机微积分

当一个变化系统的下一步确实不确定时，应怎样建模？本课用 41 个完整章节，分成长度为 4、5、5、5、4、7、4、7 的八个按内容确定大小的单元。先区分一条已经观察到的路径与全部可能路径的概率规律，再读懂总体均值、协方差与平稳性，而不把一条看起来很长的曲线当成证明。课程随后用滤过组织信息、用条件期望作预测，并从逐步 Markov 链进入 Poisson 到达、一般更新过程与连续时间链的比较。再用鞅形式化“给定当前信息后的公平变化”。Brownian 运动提供连续随机驱动，二次变差说明普通微积分为什么失效，Itô 积分、Itô 公式、Itô–Stratonovich 转换以及完整证明的常漂移 Girsanov 变换则替代普通逐路径法则。最后求解并近似随机微分方程，区分密度前向演化与收益后向方程，用 Dynkin 公式把退出时间变成边值问题，把扩散过程连接到 PDE，并诚实报告模拟误差，而不把一条路径当成证明。

本课程之前: 概率与统计；测度与 Lebesgue 积分中的条件期望与 L² 收敛；微分方程与动力系统；偏微分方程；线性代数。实分析先修由测度论继承。

COURSE FACTSLevel, chapters, units, prerequisite, and outcome
第 1 章

随机过程是一族随机变量，不是一条带噪曲线

目标: 样本路径与随机变量 X_t 有什么区别？

天气记录、队列长度、价格或粒子位置都会随时间变化，但在观测前，未来并不是一条固定曲线。随机过程把所有可能的时间轨迹及其概率放在一起。固定一个结果并沿时间看，得到样本路径；固定一个时刻并跨所有结果看，得到普通随机变量。

把 X_t(ω) 看成有两个输入：t 选择时刻，ω 选择实际结果。有限维分布描述若干选定时刻上的联合规律；它比各时刻各自的直方图更强，因为它保留跨时间依赖。 在变形公式之前，要写明概率空间、当前可用信息、时间指标，以及每个可积性或正则性假设。随机结论讨论的是一族随机结果，因此一条模拟路径只能帮助观察，不能证明分布、期望、收敛或误差。

首先要检查的边界是：每个单时刻分布都相同，并不能决定时间依赖：独立抛硬币与把第一次硬币结果永远复制下去，在每个时刻都可服从 Bernoulli(1/2)。 这不是附注，而是指出最早会改变答案的失效假设；一旦丢失，条件量可能没有定义，有限时刻计算也可能被误写成长期结论。

向量 (X_t1,…,X_tn) 的联合分布决定只涉及这些选定时刻的每个事件概率。

只涉及 t1,…,tn 的事件，是随机向量 (X_t1,…,X_tn) 对某个可测集合 B 的原像。

联合分布把该事件的概率指定为 P((X_t1,…,X_tn)∈B)。

因此，每个有限时刻概率问题都由相应有限维分布回答。

设 X_n 为独立公平硬币的指示变量。求 P(X_1=1,X_2=0)，并与 Y_n=Y_1 且 Y_1 公平的过程比较。

  1. 独立性给出 P(X_1=1,X_2=0)=P(X_1=1)P(X_2=0)=1/4。
  2. 对 Y 而言，Y_1=1 会迫使 Y_2=1，因为同一个值被复制。
  3. 所以 P(Y_1=1,Y_2=0)=0，尽管 X_1、X_2、Y_1、Y_2 的单时刻 Bernoulli 分布都相同。

结果: 独立过程给出 1/4；复制过程给出 0，说明边缘分布不能决定整个过程。