辛形式既交替又非退化
目标: ω(v,v)=0 是否推出 ω 非退化？ 这是按本章定义得到的准确结果，并未提前舍入。
辛形式度量的是有向方向对，而不是长度。非退化表示每个非零向量都能找到与它配对非零的伙伴。 计算前先声明流形或向量空间、维数、系数域、辛形式符号、定向、正则性、紧致性、边界、时间区间，并说明结论是线性的、局部的、整体的、拓扑的、变分的，还是只在选择辅助数据后成立。
逐个把对象读成文字：在实向量空间 V 上，双线性型 ω 若对每个 v 都满足 ω(v,v)=0，就称为交替；等价地，ω(u,v)=−ω(v,u)。若映射 ω♭:V→V*、v↦ω(v,·) 的核为零，就称为非退化。 本章使用的准确陈述是：带非退化交替形式的有限维实向量空间必为偶数维；此时 (V,ω) 称为辛向量空间。 要区分代数恒等式与需要闭性、非退化、紧致性、横截性、正则性、凸性、单调性或紧性定理的结论。
完整证明或诚实限定范围的证明路线是：1. 选择非零 v，并由非退化找到满足 ω(v,w)≠0 的 w。 2. 归一化这对向量，并用辛正交补分离出它们张成的二维空间。 3. 对剩余非退化补空间归纳，每次去掉两个维数。 必须记录每个符号、拉回、原始形式、同痕、边界项、商、正则值、规范、扰动、定向、紧化与等号情形，不能把它们藏在定理名称后面。
重建模型“在 R² 上令 ω((q,p),(Q,P))=qP−pQ，求 ω♭(q,p) 并检验非退化。”。核验结果是：ω♭(q,p) 在对偶坐标中为 (−p,q)，其核为 {0}，所以 ω 非退化。 最近的失效边界是：奇数维反对称矩阵的行列式为零，因此奇数维交替形式不可能非退化。 相图、有限轨道样本、截断复形、数值作用量、网格或小残差，只能作为所记录模型与容差下的证据；它不证明整体可积性、持久性、紧性、横截性、非挤压或 Floer 理论不变量。
带非退化交替形式的有限维实向量空间必为偶数维；此时 (V,ω) 称为辛向量空间。
选择非零 v，并由非退化找到满足 ω(v,w)≠0 的 w。
归一化这对向量，并用辛正交补分离出它们张成的二维空间。
对剩余非退化补空间归纳，每次去掉两个维数。
在 R² 上令 ω((q,p),(Q,P))=qP−pQ，求 ω♭(q,p) 并检验非退化。
- 固定 (q,p)，把关于 (Q,P) 的泛函读成 −pQ+qP。
- 它在对偶基中的坐标行是 (−p,q)。
- 该坐标行只在 q=p=0 时为零。 这是按本章定义得到的准确结果，并未提前舍入。
结果: ω♭(q,p) 在对偶坐标中为 (−p,q)，其核为 {0}，所以 ω 非退化。