度量把距离变成邻域
目标: 为什么“度量把距离变成邻域”中的定理不能直接套到这个边界情形：缺少三角不等式的非负对称函数不一定支持开球交的证明。？指出最先失效的假设或蕴含。
X 上度量 d 非负、对称、分离点并满足 d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)；B_r(x)={y:d(x,y)<r}。 这说明本章研究哪些对象，以及哪些开集选择。
本节要建立的结论是：开球的并定义一个拓扑，因为球开集的任意并与有限交仍开。 证明从“空集与 X 直接满足球开条件。”开始，以“对有限交，取有限多个可用半径中的最小值。”闭合。全过程都要写明底集、拓扑、任意点或覆盖以及蕴含方向。
例题是：在三点集合上比较 Euclidean、taxicab 与离散度量并列出全部开集。 从“在任意有限度量空间中，每点到其他点的距离有正的最小值。”开始，以“每个子集都是单点集的并；因此 Euclidean、taxicab 与离散度量在这里都给离散拓扑。”收束。再把结果与这个边界比较：缺少三角不等式的非负对称函数不一定支持开球交的证明。
开球的并定义一个拓扑，因为球开集的任意并与有限交仍开。
空集与 X 直接满足球开条件。
并集中的点从包含它的某个成员继承一个开球。
对有限交，取有限多个可用半径中的最小值。
在三点集合上比较 Euclidean、taxicab 与离散度量并列出全部开集。
- 在任意有限度量空间中，每点到其他点的距离有正的最小值。
- 取小于该最小值一半的球，球内只有所选点，所以每个单点集都开。
- 每个子集都是单点集的并；因此 Euclidean、taxicab 与离散度量在这里都给离散拓扑。
结果: {a,b,c} 的八个子集全都开：∅、三个单点集、三个两点集及 {a,b,c}。