SYSTEMATIC MATHEMATICS

向量微积分

本课共有 41 个可见章节。想象流动的水中每一点都有一支箭头，表示该处的速度和方向。沿一条路径做了多少功？有多少水穿过一个曲面？水流在局部是否旋转？只测边界能否知道内部发生了什么？课程先练习画出和读懂这种箭头场，再从看得见的局部变化定义梯度、散度、旋度、乘积法则与 Laplacian，包括柱面和球面坐标公式背后的尺度因子；然后把许多小段或小片累加成路径积分、曲面通量和方向。Green、Stokes 与散度定理会作为经过逐项检查的“局部推出整体”结论出现，而不是要求背诵的公式。径向力、隐式曲面、涡量、固定与移动控制体积的守恒、物质导数、Green 边界能量恒等式、调和唯一性、Helmholtz 分解、孔洞、奇点、方向反转与缺失条件只要可能改变答案，就会单独检验。

本课程之前: 已完成多变量微积分及其全部先修内容。学习者应能对标量函数与向量值函数求导，使用梯度与 Jacobian，参数化曲线，借助坐标变换计算二重与三重积分，并熟练使用点积与叉积。

COURSE FACTSLevel, chapters, units, prerequisite, and outcome
第 1 章

向量场、流线与定义域

目标: 为什么两个不同积分曲线不能在 C¹ 向量场的正则点相交？

向量场给每个允许点指定方向与大小；定义域中的孔洞或奇点会控制后面的整体结论。

先从定义开始：D⊆Rⁿ 上的向量场是映射 F:D→Rⁿ；积分曲线 r(t) 满足 r′(t)=F(r(t))。 本节要建立：若 F 在一点附近连续可微，则有唯一的局部积分曲线经过该点。

本节具体例题是：求 F(x,y)=(x,−y) 经过 (a,b) 的积分曲线。 把它与这个失败边界比较：对 F(x,y)=(−y,x)/(x²+y²)，原点必须排除；在原点画箭头或把定义域当作整个 R² 会抹掉奇点。

若 F 在一点附近连续可微，则有唯一的局部积分曲线经过该点。

把 r′=F(r) 写成带给定初值的一阶自治微分方程组。

连续可微使 F 局部 Lipschitz，因此相近的速度箭头不会使解任意快速分离。

局部存在唯一性定理于是给出在足够短区间上经过该点的唯一轨迹。

求 F(x,y)=(x,−y) 经过 (a,b) 的积分曲线。

  1. 方程组为 x′=x、y′=−y。
  2. 分别求解得到 x=Ceᵗ、y=De⁻ᵗ。
  3. 初值给出 C=a、D=b，因此每条轨迹上 xy=ab。

结果: 积分曲线为 r(t)=(aeᵗ,be⁻ᵗ)；除坐标轴外，轨迹是双曲线。